Подготовка курса Математическое моделирование

2021-01-21 · 7 мин. для прочтения

Материалы к курсу Математическое моделирование.

Содержание

1 Информация по предмету

Наименование дисциплины: Математическое моделирование
Объем курса:
- 4 кредита,
- 144 часа
- контактные часы: 54 часа
- самостоятельная работа: 63 часа
- контроль: 27 часов
Курс: 3
- Семестр: 2
- Модуль: 3
Продолжительность курса: 9 недель
Лекции: 2 часа
Лабораторные работы: 4 часа

2 БРС

Активность	Количество	Баллы за единицу	Общие баллы
А1.1	8	4	32
А1.2	8	2	16
А1.3	8	1	8
А2	1	14	14
А3	1	20	20
A4	1	10	10
			100

Активности
- А1.1: Лабораторные работы. Выполнение.
- А1.2: Лабораторные работы. Самопроверка и взаимопроверка.
- А1.3: Лабораторные работы. Тесты к лабораторным работам.
- А2: Доклады по темам.
- А3: Групповой проект.
- A4. Итоговый контроль знаний (тест).
Разделы
- Р1: Поддержка научных исследований
- Р2: Подходы к математическому моделированию
- Р3: Основы научных исследований
Темы
- Введение
- Колебательные системы
- Устойчивость
- Примеры осцилляторов в физике, химии, биологии
- Неавтономные системы
- Введение в динамический хаос
- Модель прыгающего шарика
- Модель Чернавского

3 Активности

3.1 Для РПД

3.1.1 Введение в математическое моделирование

Определение математической модели и классифицирует модели по различным признакам: детерминированные и стохастические, непрерывные и дискретные, статические и динамические, аналитические и имитационные. Описываются основные этапы построения модели: содержательная постановка задачи, формализация (выбор переменных и уравнений), верификация (проверка логической правильности), валидация (сравнение с данными). Обсуждаются принципы адекватности, простоты и устойчивости модели. Приводятся примеры из механики, биологии, экономики, демонстрирующие универсальность подхода.

3.1.2 Модели роста популяций

Рассматриваются простейшие модели динамики численности биологических популяций. Начинается с экспоненциального роста (Мальтус) — линейное дифференциальное уравнение, решение которого даёт неограниченный рост или вымирание. Затем вводится логистическая модель Ферхюльста с учётом ограниченности ресурсов. Анализируются стационарные точки и их устойчивость. Обсуждается дискретный аналог — логистическое отображение, приводящее к бифуркациям и детерминированному хаосу при больших r.

3.1.3 Модели в гидродинамике

Математическое описание движения жидкостей и газов. Выводится уравнение неразрывности (сохранение массы) и уравнение Эйлера для идеальной жидкости. Вводится вязкость и получается уравнение Навье–Стокса. Обсуждаются упрощённые модели: течение Пуазейля в цилиндрической трубе (точное решение) и модель мелкой воды (система уравнений гиперболического типа для течений с малой глубиной). Рассматриваются понятия числа Рейнольдса, ламинарного и турбулентного режимов.

3.1.4 Модели распространения волн

Изучаются два классических уравнения в частных производных: волновое уравнение (гиперболического типа) и уравнение теплопроводности (параболического типа). Для волнового уравнения демонстрируется метод характеристик, дающий общее решение Даламбера; обсуждаются бегущие и стоячие волны, отражение от границ. Для уравнения теплопроводности анализируется принцип максимума, затухание начальных возмущений, свойства фундаментального решения (гауссиана). Приводятся примеры: звуковые волны, диффузия тепла.

3.1.5 Модели в химической кинетике

Рассматриваются модели химических реакций, основанные на законе действующих масс. Для простых реакций получаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вводится модель Кольмогорова–Петровского–Пискунова (КПП) — реакционно-диффузионное уравнение, описывающее распространение доминантного гена или автоволну. Изучается брюсселятор — модель колебательной реакции (автоколебания, нелинейные химические часы). Анализируются условия возникновения неустойчивости и пространственно-временных структур.

3.1.6 Модели транспортных потоков

Рассматривается макроскопическая моделью Лайтхилла–Уизема–Ричардса (LWR) для одномерного транспортного потока. Выводится уравнение сохранения автомобилей, заданная диаграмма «скорость–плотность» (обычно линейная убывающая). Обсуждается понятие фундаментальной диаграммы «плотность–поток». Рассматриваются разрывные решения (ударные волны) и их интерпретация как светофоров или заторов. Анализируется модель с учётом инерции водителей (модель Пейна).

3.1.7 Модель межвидовой конкуренции

Система Лотки–Вольтерры для двух видов, конкурирующих за общий ресурс. Анализируются особые точки и их устойчивость в зависимости от соотношения параметров. Выделяются четыре сценария: сосуществование, вытеснение одного вида, бистабильность (оба могут победить в зависимости от начальных условий). Обсуждается связь с принципом конкурентного исключения Гаузе.

3.1.8 Модели в экономике и финансах

Математические модели экономической динамики. Рассматривается модель рыночного равновесия Вальраса: система уравнений спроса и предложения, существование равновесной цены. Паутинообразная модель (дискретная) анализирует сходимость цены к равновесию в зависимости от эластичностей. В финансах изучается модель Блэка–Шоулза для оценки опционов. Обсуждается вывод через стохастическое исчисление и лемму Ито, а также понятие хеджирования.

3.2 Лабораторные работы

3.2.1 Темы лабораторных работ

Использование git. Использование Markdown для оформления отчётов.
Задача о погоне.
Модель боевых действий.
Модель гармонического осциллятора.
Модель хищник-жертва.
Задача об эпидемии.
Эффективность рекламы.
Модель конкуренции двух фирм.

3.3 Индивидуальные проекты

Часть лабораторных работ надо будет перевести в индивидуальные проекты.

3.4 Групповые проекты

3.4.1 Методика

Выполнение проекта
- Проект выполняется в рамках малых групп (до 4 человек).

Представление проекта
- Проект на каждом этапе представляется в виде презентации. Время представления – 2–5 минут.
- Представление проводится во время лекционных занятий.
- Выступают по очереди все члены малой группы.

Этапы представления проекта
1. Модель. Презентация по научной проблеме. Теоретическое описание задачи. Описание модели.
2. Алгоритмы. Презентация по алгоритмам решения задачи.
3. Комплексы программ. Описание программной реализации проекта.
4. Защита проекта. Коллективное обсуждение результата проекта, самооценка деятельности.

3.4.2 Темы групповых проектов

Неравновесная агрегация, фракталы.
Электрический пробой.
Молекулярная динамика.
Решеточные газы, решеточное уравнение Больцмана.
Химические реакции, стохастическое горение.
Теплопроводность, детерминированное горение.
Образование планетной системы.
Колебания цепочек.
Рост дендритов.

Проекты рассматриваются во 2 главе пособия: Медведев Д. А., Куперштох А. Л., Прууэл Э. Р., Сатонкина Н. П., Карпов Д. И. Моделирование физических процессов и явлений на ПК: Учеб. пособие / Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2010. — 101 с.

3.5 Доклады

3.5.1 Темы докладов

Разные модели
- Лекция № 2
  - Модель сегрегации Шеллинга
  - Показатель расхождения
  - Модель Грановеттера
  - Модель оваций стоя
  - Центральная предельная теорема
  - Шесть сигм
  - Игра «Жизнь»
  - Клеточные автоматы
  - Агрегирование предпочтений
  - Многофакторное принятие решения
- Лекция № 3
  - Пространственная модель выбора
  - Дерево решений
  - Стоимость информации
  - Модели рациональных действующих лиц
  - Поведенческие модели
  - Модели, основанные на правилах
- Лекция № 4
  - Категорийные модели
  - Линейные модели
  - Новая реальность
  - Точки перелома
  - Фильтрационная модель
  - Диффузное заражение
  - Модель заражения SIR
  - Модель заражения SIS
  - Экспоненциальный рост экономики
  - Базовая модель экономического роста
  - Модель экономического роста Солоу
- Лекция № 5
  - Эвристики
  - Совместное принятие решений
  - Рекомбинирование
  - Перспектива и инновация
  - Модель Маркова
  - Функция Ляпунова
- Лекция № 6
  - Игра чистой кооперации
  - Модель культуры Аксельрода
  - Модель Беднар
  - Модели с урнами
  - Зависимость от пути
  - Зависимость от пути, но не от порядка
- Лекция № 7
  - Сетевые модели
  - Модели случайного блуждания
  - Умение и Удача
  - Игра полковника Блотто
  - Дилемма заключённого
  - Аукцион с повышением цены
  - Аукцион второй цены
  - Закрытый аукцион
  - Динамический репликатор
  - Теорема Фишера
  - Теорема о прогнозе разнообразия

Модельные подходы
- Лекция № 2
  - Линейные математические модели
  - Нелинейные математические модели
  - Квазилинейные модели
  - Феноменологические модели
  - Вейвлеты
  - Фракталы
  - Моделирование с использованием имитационного подхода
  - Клеточные автоматы
- Лекция № 3
  - Математическое моделирование в медицине
  - Математическое моделирование в экономике
  - Математическое моделирование в экологии
  - Математическое моделирование в химии
  - Математическое моделирование в горной промышленности
- Лекция № 4
  - Роль и место моделирования в создании и исследовании систем
  - Критерии качества математических моделей
  - Основы математического моделирования: требования к моделям, свойства моделей, составление моделей, примеры
  - Классификация методов построения моделей систем
  - Оценка точности и достоверности результатов моделирования
  - Технология построения моделей
  - Математическое моделирование как наука и искусство
  - Современные методы прогнозирования явлений и процессов
  - Классификация языков и систем моделирования
  - Методики вычислительного (компьютерного) эксперимента
  - Перспективы развития компьютерного моделирования сложных систем
  - Качественные методы моделирования систем
- Лекция № 5
  - Системная динамика как методология и инструмент исследования сложных процессов
  - Анализ сложных систем с помощью моделей клеточных автоматов
  - Эволюционное моделировании и генетические алгоритмы
  - Современные подходы имитационного моделирования
  - Распределённые системы имитационного моделирования
  - Способы управления временем в имитационном моделировании
  - Использование онтологий в имитационном моделировании
  - Методы интеллектуального анализа данных
- Лекция № 6
  - Методы прогнозирования на основе нечётких временных рядов
  - Моделирование в условиях неопределенности, описываемой с позиции теории нечётких множеств
  - Косвенные методы построения функций принадлежности нечетких множеств
  - Методы нечёткого моделирования
  - Нечёткие методы классификации
  - Использование нечетких представлений при построении и анализе моделей идентификации
  - Определение и классификация неопределённостей в задачах моделирования систем
  - Моделирование и анализ распределённых информационных систем
  - Моделирование в условиях стохастической неопределённости
- Лекция № 7
  - Модификация сетей Петри для моделирования систем специального вида
  - Обобщения сетей Петри
  - Вложенные сети Петри и моделирование распределенных систем
  - Классификация нечетких сетей Петри
  - Многоагентные модели исследования систем
  - Математические модели онтологии предметных областей
  - Моделирование систем на основе анализа размерностей и теории подобия
  - Модели информационного поиска в массиве документов
  - Способы автоматизированного извлечения знаний о предметной области из текстов электронных документов
  - Предметно-ориентированные системы научной осведомлённости

4 Оценивание

Обновлено 2026-04-03

Modeling Education

Authors

Дмитрий Сергеевич Кулябов

Профессор кафедры теории вероятностей и кибербезопасности

Работаю профессором на кафедре теории вероятностей и кибербезопасности Российского университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы. Научные интересы относятся к области теоретической физики и математического моделирования.

← Подготовка курса Операционные системы 2021-01-21

Преподавание. Курсы 2021-01-21 →

No results found