Подготовка курса Квантовые вычисления и квантовая информация

Подготовка курса Квантовые вычисления и квантовая информация.

1 Материалы

1.1 Стек технологий

• Используется стек технологий на базе Julia.

2 Активности

2.1 Лекции

2.1.1 Математический аппарат и основные постулаты

• Гильбертовы пространства, обозначения Дирака.
• Операторы: унитарные и эрмитовы, спектральное разложение.
• Кубит, сфера Блоха. Тензорное произведение, запутанность.
• Демонстрация: Визуализация кубита с использованием QuantumInformation.jl и Plots.jl.

2.1.2 Квантовые схемы и первый алгоритм

• Однокубитные и двухкубитные гейты (Pauli, Hadamard, CNOT).
• Квантовый параллелизм, интерференция, запрет клонирования.
• Алгоритм Дойча–Йожи.
• Демонстрация: Построение схем на Yao.jl.

2.1.3 Алгоритм Гровера (квантовый поиск)

• Постановка задачи поиска.
• Амплитудное усиление, оператор Гровера.
• Квадратичное ускорение.
• Демонстрация: Реализация Гровера на Yao.jl.

2.1.4 Квантовое преобразование Фурье (QFT) и алгоритм Шора

• QFT и его схема.
• Фазовое оценивание (QPE).
• Идея алгоритма Шора: факторизация через поиск периода.
• Демонстрация: QFT на Yao.jl.

2.1.5 Моделирование замкнутых квантовых систем

• Уравнение Шредингера, эволюция.
• Троттеризация.
• Введение в вариционные алгоритмы (VQE).
• Демонстрация: VQE для (H_2) на QuantumOptics.jl.

2.1.6 Открытые системы и декогеренция

• Матрица плотности, смешанные состояния.
• Квантовые каналы (амплитудное/фазовое затухание).
• Уравнение Линдблада. Квантовая томография.
• Демонстрация: Моделирование распада кубита на QuantumToolbox.jl .

2.1.7 Гибридные квантово‑классические алгоритмы

• NISQ-эпоха, гибридный подход.
• VQE и QAOA.
• Квантовое машинное обучение (обзор).
• Демонстрация: QAOA для MaxCut на Yao.jl + оптимизация через Optim.jl.

2.1.8 Квантовая информация, криптография и перспективы

• Энтропия фон Неймана, взаимная информация.
• Квантовая криптография (BB84).
• Современное состояние: шум, коррекция ошибок (обзор).
• Демонстрация: Моделирование BB84 на QuantumInformation.jl и коррекция ошибок на QuantumClifford.jl .

2.2 Лабораторные работы

2.2.1 Знакомство с экосистемой Julia для квантовых вычислений

• Цель: Освоить базовые пакеты и синтаксис.
• Задачи:
  1. Установить QuantumInformation.jl, Yao.jl, Plots.jl.
  2. Создать состояние кубита и применить гейты X, H, Z.
  3. Визуализировать результаты на сфере Блоха.
  4. Создать состояние Белла через тензорное произведение.
• Инструменты: QuantumInformation.jl, Yao.jl, Plots.jl.

2.2.2 Квантовый параллелизм и алгоритм Дойча–Йожи

• Цель: Реализовать алгоритм на Julia.
• Задачи:
  1. Построить оракулы для константной и сбалансированной функций.
  2. Реализовать схему Дойча–Йожи через Yao.jl.
  3. Проверить результат для n=1 и n=2 кубитов.
• Инструменты: Yao.jl.

2.2.3 Алгоритм Гровера

• Цель: Реализовать квантовый поиск.
• Задачи:
  1. Построить оракул для состояния (|101⟩).
  2. Реализовать оператор диффузии.
  3. Выполнить алгоритм для 3 кубитов, измерить вероятность.
  4. Исследовать зависимость вероятности от числа итераций.
• Инструменты: Yao.jl, Plots.jl.

2.2.4 Квантовое преобразование Фурье

• Цель: Реализовать QFT и фазовое оценивание.
• Задачи:
  1. Построить схему QFT для 3 кубитов (через вентили Адамара и управляемые фазы).
  2. Проверить обратное преобразование.
  3. Реализовать алгоритм фазового оценивания для (U = R_z(φ)).
• Инструменты: Yao.jl, базовые операции с комплексными числами.

2.2.5 Моделирование динамики замкнутой системы

• Цель: Численное решение уравнения Шредингера.
• Задачи:
  1. Задать гамильтониан (H = Z ⊗ Z + 0.5 (X ⊗ I)).
  2. Решить уравнение Шредингера через экспоненту от матрицы.
  3. Реализовать троттеризованную эволюцию и сравнить с точным решением.
  4. Визуализировать населенности во времени.
• Инструменты: QuantumOptics.jl, LinearAlgebra, Plots.jl.

2.2.6 Открытые системы: уравнение Линдблада

• Цель: Моделирование затухания кубита.
• Задачи:
  1. Создать операторы для амплитудного затухания ((σ_-)).
  2. Решить уравнение Линдблада для различных скоростей распада.
  3. Визуализировать затухание населенности и декогеренцию.
  4. Сравнить с аналитическим решением.
• Julia-инструменты: QuantumToolbox.jl (аналог QuTiP) .

2.2.7 Вариационный алгоритм VQE

• Цель: Найти основное состояние молекулы водорода.
• Задачи:
  1. Задать гамильтониан в минимальном базисе (использовать готовые интегралы или упрощенную модель).
  2. Построить анзац (например, UCCSD или простую схему с вращениями).
  3. Минимизировать энергию через Optim.jl.
  4. Сравнить с точной диагонализацией.
• Инструменты: Yao.jl (для схем), QuantumOptics.jl (для гамильтониана), Optim.jl.

2.2.8 QAOA для MaxCut

• Цель: Решить задачу комбинаторной оптимизации.
• Задачи:
  1. Построить граф с 4 вершинами.
  2. Сформировать гамильтониан задачи MaxCut.
  3. Реализовать QAOA с p=1.
  4. Оптимизировать параметры (γ, β) и найти приближенное решение.
• Инструменты: Yao.jl, Graphs.jl, Optim.jl.

2.2.9 Квантовая криптография: BB84

• Цель: Моделирование распределения ключа.
• Задачи:
  1. Реализовать протокол: Алиса готовит состояния, Боб измеряет.
  2. Добавить подслушивателя Еву с перехватом.
  3. Оценить ошибку в ключе при наличии Евы.
• Инструменты: QuantumInformation.jl , базовые случайные числа.

2.2.10 Квантовая коррекция ошибок

• Цель: Реализовать трёхкубитный код для защиты от битовых ошибок.
• Задачи:
  1. Реализовать кодирование одного логического кубита в три физических.
  2. Внести ошибку bit-flip на одном кубите.
  3. Реализовать синдромное измерение и восстановление.
  4. Проверить fidelity восстановленного состояния.
• Инструменты: QuantumClifford.jl (для стабилизаторного формализма) или Yao.jl.

2.2.11 Квантовая телепортация состояния

• Цель: Реализовать протокол квантовой телепортации, передающий неизвестное состояние одного кубита другому с использованием запутанной пары и классической связи.
• Теоретическая основа: Телепортация позволяет передать квантовое состояние, не передавая сам носитель. Для этого используется EPR-пара (Bell state) и классическая передача двух битов информации.
• Задачи:
  1. Подготовка ресурсов:
     • Создать кубит в состоянии, которое нужно телепортировать (например, случайное состояние на сфере Блоха).
     • Создать запутанную пару между кубитами Алисы (AAA) и Боба (BBB).
  2. Измерение Белла у Алисы:
     • Выполнить операцию CNOT с кубитом-сообщением (контролирующий) и кубитом Алисы (целевой).
     • Применить гейт Адамара к кубиту-сообщению.
     • Измерить оба кубита Алисы (получая два классических бита: m1, m2).
  3. Передача классической информации: Зафиксировать полученные биты (это единственная информация, которая покидает лабораторию Алисы).
  4. Восстановление состояния у Боба:
     • На основе полученных битов применить корректирующие гейты к кубиту Боба:
       • Если m2 = 1 (второй измеренный кубит), применить X.
       • Если m1 = 1 (первый измеренный кубит), применить Z.
  5. Верификация:
     • Провести квантовую томографию состояния кубита Боба.
     • Сравнить fidelity (точность) восстановленного состояния с исходным. В идеальном симуляторе fidelity должна быть 1.
  6. Исследование: Повторить эксперимент для различных исходных состояний (включая суперпозиции) и убедиться, что протокол работает для любого состояния.
• Инструменты: Yao.jl (для построения схемы телепортации), QuantumOptics.jl или QuantumInformation.jl (для расчета fidelity).

2.3 Доклады

2.3.1 Фундаментальные концепции

• Запутанность и неравенства Белла

  • Математическое описание запутанных состояний.
  • Неравенство Белла (CHSH-форма) и его нарушение в квантовой механике.
  • Экспериментальные проверки и значение для квантовой информации.

• Теорема о запрете клонирования и её следствия

  • Доказательство теоремы.
  • Роль в квантовой криптографии и невозможности идеального копирования.
  • Связь с обратимостью квантовых вычислений.

• Квантовая томография: восстановление состояния по измерениям

  • Постановка задачи: как определить неизвестную матрицу плотности.
  • Методы линейной инверсии и максимального правдоподобия.
  • Практическая томография одного и двух кубитов (пример на Julia).

• Квантовая энтропия и информация

  • Энтропия фон Неймана, её свойства и отличие от классической энтропии Шеннона.
  • Взаимная информация, условная энтропия.
  • Применение для характеризации запутанности (энтропия запутанности).

2.3.2 Квантовые алгоритмы и сложность

• Алгоритм Саймона и его связь с квантовым преобразованием Фурье

  • Задача нахождения скрытой подгруппы.
  • Экспоненциальное ускорение относительно классических алгоритмов.
  • Историческое значение для разработки алгоритма Шора.

• Квантовое преобразование Фурье: свойства и применения

  • Подробный разбор схемы QFT.
  • Использование в оценке фазы, алгоритме Шора, задачах теории чисел.
  • Сравнение с классическим БПФ.

• Алгоритм Шора: детали реализации и сложность

  • Этапы алгоритма: классическое свечение к поиску периода, квантовая часть.
  • Оценка ресурсов (количество кубитов, глубина схемы) для факторизации больших чисел.
  • Современные рекорды и ограничения.

• Квантовое ускорение в задачах оптимизации: QAOA

  • Принцип работы квантового приближённого оптимизационного алгоритма.
  • Применение к MaxCut и другим комбинаторным задачам.
  • Сравнение с классическими эвристиками.

• Квантовое машинное обучение: вариационные классификаторы и квантовые ядра

  • Идея квантовых нейронных сетей.
  • Методы кодирования данных.
  • Обучение с использованием автоматического дифференцирования (Zygote.jl).

2.3.3 Моделирование квантовых систем

• Троттеризация и симуляция гамильтонианов

  • Формула Ли–Троттера–Судзуки и её применение в квантовой симуляции.
  • Оценка ошибок и выбор шага по времени.
  • Пример: симуляция модели Изинга на квантовом компьютере.

• Методы моделирования открытых квантовых систем

  • Уравнение Линдблада: вывод и численные методы решения.
  • Метод Монте-Карло для траекторий квантовых скачков.
  • Сравнение с подходом матрицы плотности.

• Вариационный квантовый собственный решатель (VQE) для квантовой химии

  • Отображение молекулярного гамильтониана на кубиты (JW, BK).
  • Выбор анзаца (UCCSD, HE).
  • Пример: расчёт энергии основного состояния молекулы H₂ или LiH.

2.3.4 Квантовая передача информации и криптография

• Квантовое распределение ключей: протоколы BB84 и E91

  • Сравнение BB84 (на основе двух базисов) и E91 (на основе запутанности).
  • Практические реализации и уязвимости.
  • Стандартизация и коммерческие системы QKD.

• Квантовая телепортация и её обобщения

  • Подробный разбор протокола телепортации.
  • Телепортация запутанности (entanglement swapping).
  • Применение в квантовых повторителях.

• Квантовая криптография: атаки и контрмеры

  • Атака «перехват–измерение–переотправка» на BB84.
  • Атака с разделением по времени (photon number splitting).
  • Методы повышения безопасности: декой-состояния, усиление конфиденциальности.

• Квантовые коды коррекции ошибок

  • Принцип стабилизаторных кодов.
  • Трёхкубитный код и код Шора.
  • Пороговые теоремы и перспективы реализации.

2.3.5 Физические реализации и перспективы

• Сверхпроводящие кубиты: архитектура и управление

  • Типы кубитов (transmon, fluxonium).
  • Принципы считывания и одно- и двухкубитные гейты.
  • Современные процессоры (IBM, Google).

• Ионные ловушки как платформа для квантовых вычислений

  • Кубиты на ионах, лазерное охлаждение.
  • Высокая точность гейтов и время когерентности.
  • Масштабирование и связь с фотонными сетями.

• Топологические квантовые вычисления

  • Идея анионов и неабелевой статистики.
  • Майорановские моды и устойчивость к декогеренции.
  • Современное состояние экспериментов.

• Квантовое превосходство и современные рекорды

  • Эксперимент Google Sycamore (2019) и его критика.
  • Последующие достижения (Zuchongzhi, Borealis).
  • Критерии квантового превосходства и его значение.

2.3.6 Математические аспекты и методы моделирования

• Теория представлений и квантовые вычисления

  • Группы и алгебры Ли в описании квантовых гейтов.
  • Универсальность набора гейтов: доказательство Соловая–Китаева.
  • Применение в построении схем.

• Тензорные сети и симуляция квантовых систем

  • Основы MPS (матричные произведения состояний).
  • Алгоритм DMRG и его связь с квантовыми цепочками.
  • Применение для моделирования многокубитных систем на классических компьютерах.

• Квантовые графы и случайные блуждания

  • Квантовые блуждания и их отличие от классических.
  • Экспоненциальное ускорение в некоторых задачах поиска.
  • Связь с алгоритмами поиска Гровера.

3 Литература для курса

• Борзунов С. В., Кургалин С. Д. Основы квантовых вычислений и квантовой теории информации. – СПб. : БХВ-Петербург, 2025. – 248 с. [1]
• Масленников В. В. Введение в квантовые вычисления [Электронный ресурс]. – М. : РТУ МИРЭА, 2024. – 74 с. – Режим доступа: ЭБС Лань. [2]
• Арбеков И. М. Элементарная квантовая криптография: Для криптографов, не знакомых с квантовой механикой. – М. : URSS, 2025. – 168 с. [3]
• Ширкин С. В. Квантовые вычисления. Теория и практика. – М. : МИСиС, 2024. – 202 с. [4]

4 Библиография

Литература