Тамм, И. Е. (1924) Электродинамика анизотропной среды в специальной теории относительности
Тамм, Игорь Евгеньевич (1924) Электродинамика анизотропной среды в специальной теории относительности [1; 2].
Содержание
1 Краткое содержание
- Статья посвящена построению электродинамики движущейся анизотропной среды в рамках специальной теории относительности.
- Цель — обобщить уравнения Минковского на случай, когда среда характеризуется тензорами диэлектрической проницаемости \(\varepsilon_{ij}\) и магнитной проницаемости \(\mu_{ij}\), а не скалярами \(\varepsilon\), \(\mu\).
1.1 Основная идея
- Автор предлагает рассматривать \(\varepsilon_{ij}\) и \(\mu_{ij}\) не как два независимых трёхмерных тензора второго ранга, а как части одного четырёхмерного тензора IV ранга \(s_{ij\alpha\beta}\), связывающего электромагнитные тензоры \(F_{ij}\) и \(f^{ij}\).
- При таком подходе скорость среды не входит в материальные уравнения явно, а играет роль параметра преобразования Лоренца.
- Это позволяет единообразно описать изотропную и анизотропную движущуюся среду.
1.2 § 1. Изотропная среда
- Сначала рассматривается изотропный диэлектрик без свободных зарядов.
- Уравнения Минковского переписываются через тензор \(s_{ij}\).
\[ D’+[vH’]=\varepsilon(E’+[vB’]), \\ B’-[vE’]=\mu(H’-[vD’]) \]
Показывается, что в изотропном случае тензор IV ранга факторизуется: \[ s_{ij\alpha\beta}=s_{i\alpha}s_{j\beta}, \]
- В системе покоя
\[ s_{ij}=\operatorname{diag}\bigl(\sqrt{\mu},\sqrt{\mu},\sqrt{\mu},-\tfrac{1}{\varepsilon\sqrt{\mu}}\bigr). \]
- Далее с помощью преобразования Лоренца для равномерно движущейся среды вычисляются, например, компоненты \(D’_x\), что иллюстрирует переход к движущейся системе.
1.3 § 2. Проводящая среда
- Для среды с проводимостью \(\sigma\) и плотностью заряда \(\rho\) зависимость между током \(I^i\), полем \(F_{\alpha\beta}\), проводимостью и зарядом записывается в тензорной форме:
\[ Ii=\sigma{i\alpha\beta}F_{\alpha\beta}+\rho^i. \]
- Тензор проводимости \(\sigma^{i\alpha\beta} \) есть тензор III ранга; в системе покоя его компоненты задаются простыми соотношениями.
1.4 § 3. Анизотропная среда
- Для анизотропной среды материальные уравнения имеют вид
\[ f’/{ij}=s/{ij\alpha\beta}F’^{\alpha\beta}, \]
- Здесь (sijαβ) — тензор IV ранга, не сводимый к произведению тензоров меньшего ранга.
- В системе покоя с осями, совпадающими с главными осями анизотропии, отличны от нуля компоненты
\[ s_{1212}=s_{2121}=\mu_3,\quad s_{2323}=s_{3232}=\mu_1,\quad s_{1313}=s_{3131}=\mu_2, \] \[ s_{1414}=s_{4141}=-\frac{1}{\varepsilon_1},\quad s_{2424}=s_{4242}=-\frac{1}{\varepsilon_2},\quad s_{3434}=s_{4343}=-\frac{1}{\varepsilon_3}. \]
Подчёркивается, что 12 независимых величин \(\varepsilon_{ij}\) и \(\mu_{ij}\) в общем случае нельзя свести к 10 компонентам симметричного тензора II ранга, поэтому тензоры IV ранга должны играть существенную роль в релятивистской теории анизотропных сред.
В статье также даётся контравариантный тензор \(s^{ij\alpha\beta} \), обратный к \(s_{ij\alpha\beta} \), и матричная запись этих тензоров.
Для примера рассматривается движение среды вдоль одной из главных осей анизотропии.
Получаются соотношения типа
\[ D’_1=\varepsilon_1E’_1,\qquad H’_1=\frac{1}{\mu_1}B’_1, \]
- Также более сложные формулы для \(D’_2,H’_3,B’_3,E’_2\).
- В итоге они сводятся к векторным уравнениям, внешне аналогичным уравнениям Минковского:
\[ D’+[vH’]=\varepsilon(E’+[vB’]),\qquad B’-[vE’]=\mu(H’-[vD’]), \]
- Но теперь \(\varepsilon\) и \(\mu\) суть трёхмерные тензоры, диагональные в главных осях.
1.5 § 4. Общий случай несовпадающих главных осей \(\varepsilon\) и \(\mu\)
- Рассматривается более общий случай, когда главные оси эллипсоидов \(\varepsilon\) и \(\mu\) не совпадают.
- Показано, что при пространственном вращении координатных осей тензор \(s_{ij\alpha\beta} \) распадается на пространственный тензор IV ранга, два пространственных тензора II ранга и скаляр.
- Предложена процедура построения тензора \(s_{ij\alpha\beta}\) в системе, связанной с осями эллипсоида \(\varepsilon\), путём применения вращения к внутренним индексам тензора.
1.6 Приложение
- Доказывается единственность тензора \(s_{i\alpha}\) в изотропном случае: из уравнений \(F_{ij}=s_{i\alpha}s_{j\beta}f^{\alpha\beta}\) и условий в системе покоя показывается, что недиагональные компоненты \(s_{i\alpha}\) равны нулю, а диагональные определяются однозначно.
1.7 Заключительное примечание
В примечании к статье отмечается, что подход И. Е. Тамма отличается от известной формулировки Минковского: рассматривается более общий случай анизотропной движущейся среды и более общая форма материальных уравнений; уравнения поля сводятся к уравнениям для потенциалов так же, как и в случае покоящейся среды.
Также поясняется изменение терминологии: старые термины «напряжение электрического поля», «электрическая поляризация» заменяются современными «напряжённость электрического поля», «электрическая индукция» и т. п.
Статья закладывает тензорный аппарат для электродинамики движущихся анизотропных сред и показывает, что свойства такой среды естественно описываются четырёхмерными тензорами IV ранга.
2 Резюме
2.1 Общая оценка
- Статья представляет собой пионерскую работу по релятивистской электродинамике движущихся анизотропных сред.
- Основная ценность работы состоит в том, что автор последовательно отказывается от традиционного описания анизотропной среды через два независимых трёхмерных тензора \(\varepsilon_{ij}\) и \(\mu_{ij}\) и вводит единый четырёхмерный тензор IV ранга \(s_{ij\alpha\beta}\), связывающий электромагнитные тензоры \(F_{ij}\) и \(f^{ij}\).
- Такой подход позволяет записать материальные уравнения в ковариантной форме, в которой скорость среды не входит явно, а играет роль параметра преобразования Лоренца.
- Работа имеет не только историческое, но и методическое значение: она показывает, как свойства движущейся среды естественно описываются тензорами высокого ранга и почему в общем анизотропном случае нельзя ограничиться тензором II ранга.
2.2 Достоинства
Автор демонстрирует, что в изотропном случае тензор IV ранга факторизуется: \[ s_{ij\alpha\beta}=s_{i\alpha}s_{j\beta}, \]
- В анизотропном он уже не сводится к произведению тензоров меньшего ранга.
- Это даёт естественное обобщение уравнений Минковского.
Запись \[ f’/{ij}=s/{ij\alpha\beta}F’^{\alpha\beta} \] удобна тем, что скорость среды не фигурирует в материальном соотношении явно; она спрятана в преобразовании Лоренца.
В § 1 и § 2 автор не ограничивается анизотропным диэлектриком, а показывает, как новый формализм работает для изотропной среды и для среды с проводимостью. Это придаёт изложению полноту.
В § 4 рассматривается ситуация, когда главные оси тензоров \(\varepsilon\) и \(\mu\) не совпадают.
- Указано, что тензор \(s_{ij\alpha\beta}\) распадается на пространственные компоненты разных рангов, и предложена процедура построения тензора в системе, связанной с осями эллипсоида \(\varepsilon\).
Доказательство единственности тензора \(s_{i\alpha} \) в изотропном случае усиливает математическую строгость работы.
2.3 Замечания
Отсутствие физических приложений.
- Автор обещает в следующей статье рассмотреть оптику анизотропной среды и двойное лучепреломление, но в данной работе эти вопросы не раскрыты.
- В результате статья носит преимущественно формальный характер.
Автор отмечает, что тензорная форма позволяет перенести уравнения в общую теорию.
- Фактического обобщения на ОТО в статье нет.
В § 3 подробные формулы для \(D’_2,H’_3,B’_3,E’_2\) получаются для случая движения вдоль одной из главных осей анизотропии.
- Общий случай произвольного направления скорости сведён к векторной форме, но детальные выкладки не приведены.
Не обсуждаются дисперсия, поглощение и частотная зависимость \(\varepsilon\) и \(\mu\), что существенно для реальных анизотропных сред.
Тензор проводимости III ранга в § 2 введён довольно кратко.
- Его физический смысл и связь с обычным тензором проводимости II ранга заслуживали бы более подробного пояснения.
