Тамм, И. Е. (1925) Кристаллооптика теории относительности в связи с геометрией биквадратичной формы
Тамм, Игорь Евгеньевич (1925) Кристаллооптика теории относительности в связи с геометрией биквадратичной формы [1; 2].
Содержание
1 Краткое содержание
- Статья развивает релятивистскую электродинамику анизотропной среды, построенную ранее И. Е. Таммом совместно с Л. И. Мандельштамом, и применяет её к кристаллооптике.
- Основная идея — свести распространение света в анизотропной среде к нулевым линиям некоторой геометрии, но не римановой квадратичной, а более общей биквадратичной геометрии.
1.1 § 1. Введение и резюме
- Автор формулирует программу: показать, что законы распространения света в кристаллах аналогичны распространению света в гравитационном поле в вакууме.
- В обоих случаях свет распространяется по нулевым линиям \(ds=0\), но в анизотропной среде элемент длины определяется не квадратичной, а биквадратичной формой:
\[ ds4=h{ijkl}dx_i dx_j dx_k dx_l =h_{ijkl}dxi dxj dxk dxl. \]
- Тензор IV ранга \(h^{ijkl}\) является функцией \(\varepsilon_{\alpha\beta}\) и \(\mu_{\alpha\beta}\).
- Биквадратичность элемента длины физически соответствует двойному лучепреломлению.
- В изотропной среде биквадратичная геометрия переходит в обычную квадратичную.
- В биквадратичной геометрии роль единственного метрического тензора \(g_{ij}\) распределяется между тремя тензорами: \(h_{ijkl}\), \(k_{ij}\) и \(s_{ijkl}\).
- В изотропном случае все они сводятся друг к другу.
1.2 § 2. Основные уравнения электродинамики анизотропной среды
- Рассматривается диэлектрическая среда с тремя взаимно перпендикулярными главными осями анизотропии.
- Электромагнитное поле описывается антисимметричными тензорами \(F_{ij}\) и \(f^{ij}\), компоненты которых выражаются через \(E,H,D,B\).
- Материальное уравнение имеет вид
\[ f^{ij}=s^{ijpq}F_{pq}, \qquad F_{ij}=s_{ijpq}f^{pq}, \]
- Здесь \(s^{ijpq}\) и \(s_{ijpq}\) — две формы одного тензора IV ранга диэлектрической и магнитной проницаемости.
- Между ними выполняется соотношение
\[ s^{ijpq}s_{hkpq}=\deltai_h\deltaj_k. \]
- В системе \(A\) — покоящейся декартовой системе с осями вдоль главных осей анизотропии — отличны от нуля только компоненты с \(i=p\), \(j=q\).
- Их значения записываются в виде матрицы через \(\varepsilon_\alpha\) и \(\mu_\alpha\).
- В изотропном случае тензор IV ранга факторизуется:
\[ s^{ijpq}=s^{ip}s^{jq}, \qquad s_{ijpq}=s_{ip}s_{jq}. \]
- Также приводятся уравнения поля:
\[ \operatorname{rot}F_{ijk}=0, \qquad \operatorname{div}f^{ij}=0. \]
1.3 § 3. Электромагнитное поле световой волны
- Поле световой волны задаётся тензором-потенциалом
\[ \Phi_i=A_i e^{\sqrt{-1}\varphi}. \]
- В приближении геометрической оптики пренебрегается дисперсией и дифракцией, а производные амплитуд \(A_i\) считаются малыми по сравнению с производными фазы \(\varphi\).
- Вводятся обозначения \(Q_i=\partial\varphi/\partial x^i\).
- Тогда
\[ F_{ij}=\sqrt{-1}(A_iQ_j-A_jQ_i)e^{\sqrt{-1}\varphi}, \] \[ f^{ij}=s^{ijpq}\sqrt{-1}(A_pQ_q-A_qQ_p)e^{\sqrt{-1}\varphi}. \]
- Из уравнений поля получаются ограничения
\[ f^{\alpha i}Q_i=0 \qquad(\alpha=1,2,3), \] или \[ s^{\alpha i p q}(A_pQ_q-A_qQ_p)Q_i=0. \]
1.4 § 4. Уравнения Френеля
- В системе \(A\) уравнения упрощаются.
- Вводятся новые амплитуды \(B_i\):
\[ A_i=\frac{A_4}{Q_4}Q_i+B_i, \qquad B_4=0. \]
- Показано, что \(B_\alpha\) пропорциональны направляющим косинусам вектора электрического поля \(E\), а \(Q_\alpha:Q_4=m_\alpha:-w\), где \(m_\alpha\) — направляющие косинусы волновой нормали, \(w\) — скорость волны.
- Для немагнитных кристаллов (\(\mu=1\)) из общих уравнений получается классическое уравнение Френеля:
\[ \sum_\alpha \frac{m_\alpha2}{\frac{1}{\varepsilon_\alpha}-w2}=0. \]
1.5 § 5. Общее уравнение распространения световых волн
- Для случая \(\mu\ne1\) выводится общее уравнение:
\[ \sum_{i,j,h,k}h^{ijhk}Q_iQ_jQ_hQ_k=0. \]
- В системе \(A\) тензор \(h^{ijhk}\) имеет 16 отличных от нуля компонент, записываемых матрицей через \(\varepsilon_\alpha\), \(\mu_\alpha\).
- Уравнение инвариантно относительно преобразований координат, если \(h^{ijhk}\) преобразуется как контравариантный тензор IV ранга.
- Показано, что \(h^{ijhk}\) выражается через \(s^{ijpq}\) с помощью полностью антисимметричного тензора \(e_{ijhk}\).
- В изотропном случае \(h^{ijhk}\) совпадает с \(s^{ijhk}\).
1.6 § 6. Двоякое лучепреломление и биквадратичная геометрия
- Уравнение \(Q=\mathrm{const}\) определяет волновые поверхности.
- Световые лучи определяются как линии, ортогональные волновым поверхностям:
\[ dx_i=\lambda \frac{\partial Q}{\partial x^i}. \]
- Подстановка даёт уравнение световых линий
\[ h^{ijpq}dx_i dx_j dx_p dx_q=0. \]
- В вакууме аналогичное уравнение имеет вид \(g^{ij}dx_i dx_j=0\).
- По аналогии автор предлагает считать, что в материальной среде свет распространяется по нулевым линиям \(ds=0\), где
\[ ds4=h{ijkl}dx_i dx_j dx_k dx_l. \]
- То есть метрическим тензором анизотропной среды является тензор IV ранга \(h^{ijkl}\).
- В изотропном случае \(ds^4\) сводится к квадрату квадратичной формы, и геометрия становится римановой.
- Наличие двойного лучепреломления приводит к четырём значениям скорости света \(\pm w_1,\pm w_2\) для каждого направления, что и соответствует биквадратичной форме.
1.7 § 7. Волна и луч
- Обсуждается различие между скоростью волны \(w\) и скоростью луча \(v\).
- В натуральной биквадратичной геометрии с инвариантным определением элемента длины нормаль к лучевой поверхности совпадает с радиус-вектором, а нормаль к волновой поверхности — с направлением потока энергии; поэтому \(v=w\).
- Различие между волной и лучом возникает только при использовании недекартовых координат или неинвариантного мероопределения.
- Показано, что уравнение \(ds=0\) в контравариантных координатах описывает световой луч, а в ковариантных — световую волну.
- Связь между волновой и лучевой поверхностями такая же, как в геометрической оптике: волновая поверхность есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из центра лучевой поверхности на касательные плоскости.
1.8 § 8. Оптика гравитационного поля
- Для проверки идей рассматривается распространение света в гравитационном поле в вакууме.
- В вакууме \(f^{ij}=g^{ik}g^{jl}F_{kl}\).
- Из уравнений поля получаются соотношения:
\[ g^{iq}Q_qQ_j=0, \qquad g^{iq}A_qQ_j=0, \]
- Для световых линий:
\[ g^{jk}dx_jdx_k=0, \qquad g_{jk}dxjdxk=0. \]
- Показано, что направление потока энергии совпадает с нормалью к волновой поверхности, а волновая поверхность получается из лучевой стандартным геометрическим построением.
- Тем самым утверждения § 7 доказаны для вакуума; автор предполагает, что они остаются справедливыми и в биквадратичной геометрии анизотропной среды.
1.9 § 9. Третий основной тензор биквадратичной геометрии
- В квадратичной геометрии индексы поднимаются и опускаются одним метрическим тензором \(g_{ij}\).
- В биквадратичной геометрии для этого нужен отдельный тензор II ранга \(k_{ij}\), удовлетворяющий
\[ k_{jk}k^{ij}=\delta_i^k. \]
- Он должен также переводить контравариантную форму элемента длины в ковариантную:
\[ h_{ijhk}=k_{ip}k_{jq}k_{hr}k_{ks}h^{pqrs}. \]
В системе \(A\) компоненты \(k_{ij}\) выражаются через \(\varepsilon_\alpha,\mu_\alpha\) и определитель \(s\).
Таким образом, в биквадратичной геометрии различаются три основных тензора:
- \(s_{ijkl}\) — связывает электромагнитные тензоры \(F_{ij}\) и \(f^{ij}\);
- \(h_{ijkl}\) — определяет элемент длины;
- \(k_{ij}\) — работа с индексами.
В изотропном случае все три тензора сводятся к одному тензору II ранга, аналогичному \(g_{ij}\).
1.10 Приложение
- Доказывается, что в изотропной среде метрический тензор \(h_{ijkl}\) тождественно равен развёртке тензора II ранга \(s_{ij}\):
\[ h_{ijkl}=s_{ij}s_{kl}. \]
- Это подтверждает согласованность биквадратичной геометрии с обычной квадратичной в изотропном пределе.
2 Резюме
2.1 Общая оценка
- Рецензируемая работа является прямым продолжением статьи И. Е. Тамма 1924 г. по электродинамике движущейся анизотропной среды и представляет собой оригинальное развитие релятивистской кристаллооптики.
- Основная идея статьи — показать, что распространение света в анизотропной среде можно описать как движение по нулевым линиям \(ds=0\), но не в римановой геометрии квадратичной формы, а в более общей геометрии биквадратичной формы:
\[ ds4=h{ijkl}dx_i dx_j dx_k dx_l. \]
Тензор IV ранга \(h^{ijkl}\) играет роль метрического тензора анизотропной среды.
В изотропном пределе биквадратичная форма сводится к квадрату обычной квадратичной формы, и теория переходит в риманову геометрию.
Такая программа позволяет единообразно описать кристаллооптику, уравнение Френеля и даже оптику гравитационного поля в вакууме.
Статья закладывает геометрическую программу кристаллооптики: распространение света в анизотропной среде описывается нулевыми линиями биквадратичной формы, а тензор IV ранга \(h^{ijkl}\) играет роль метрического тензора.
Уравнение Френеля получается как частный случай общей тензорной теории.
Двойное лучепреломление естественно объясняется биквадратичностью элемента длины.
Устанавливается аналогия между кристаллооптикой и оптикой гравитационного поля; различие волны и луча трактуется как эффект выбора координат и мероопределения.
В биквадратичной геометрии, в отличие от римановой, необходимы три фундаментальных тензора — \(s\), \(h\) и \(k\).
2.2 Достоинства
Автор последовательно использует тензор IV ранга \(s^{ijpq}\), связывающий электромагнитные тензоры \(F_{ij}\) и \(f^{ij}\), и строит из него тензор \(h^{ijkl}\), определяющий световые линии.
- Это даёт ковариантную формулировку кристаллооптики.
Показано, что классическое уравнение Френеля получается из общих уравнений при \(\mu=1\). \[ \sum_\alpha \frac{m_\alpha2}{1/\varepsilon_\alpha-w2}=0 \]
- Это тест на правильность теории.
Для \(\mu\ne1\) выводится общее уравнение распространения, которое сводится к уравнению Френеля в немагнитном случае. \[ \sum_{i,j,h,k}h^{ijhk}Q_iQ_jQ_hQ_k=0, \]
- Теория охватывает более широкий класс сред, чем классическая кристаллооптика.
Геометрическая интерпретация двойного лучепреломления.
- Автор показывает, что каждому направлению соответствуют четыре значения скорости света \(\pm w_1,\pm w_2\), что естественно соответствует уравнению четвёртой степени \(ds^4=0\).
- Это физическая интерпретация биквадратичной геометрии.
Различие волны и луча.
- В § 7 даётся содержательное обсуждение того, почему в биквадратичной геометрии скорость волны и скорость луча совпадают, а различие возникает лишь при использовании недекартовых координат или неинвариантного мероопределения.
- Проводится аналогия с оптикой гравитационного поля.
В § 9 показано, что в биквадратичной геометрии, в отличие от римановой, нельзя обойтись одним метрическим тензором: необходимы три тензора — \(s_{ijkl}\), \(h_{ijkl}\) и \(k_{ij}\).
Доказательство того, что в изотропной среде \(h_{ijkl}=s_{ij}s_{kl}\), подтверждает согласованность теории с обычной квадратичной геометрией.
2.3 Замечания
Формальный характер геометризации.
- Автор сам отмечает, что определение элемента длины через \(ds4=h{ijkl}dx_i dx_j dx_k dx_l\) носит в значительной степени формальный характер и является определением.
- В работе не обсуждается, можно ли придать биквадратичной геометрии независимый смысл, аналогичный измерению масштабами и часами в ОТО.
Утверждения о связи волновой и лучевой поверхностей, а также о совпадении \(v\) и \(w\) в натуральной геометрии подробно доказываются только для гравитационного поля в вакууме.
- Для анизотропной материальной среды автор ограничивается предположением, что эти утверждения остаются справедливыми.
В § 2 явно предполагается, что среда обладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями анизотропии, то есть рассматриваются все кристаллические системы, кроме моноклинной и триклинной.
- Общий случай произвольной ориентации главных осей \(\varepsilon\) и \(\mu\) не рассматривается.
- Кроме того, среда предполагается диэлектрической; проводимость, дисперсия и поглощение исключены.
Работа ограничивается геометрической оптикой: пренебрегается дисперсией и дифракцией.
- Это естественно для постановки задачи, но сужает область применимости результатов.
Определение тензора \(h^{ijkl}\) через полностью антисимметричный тензор \(e_{ijhk}\) и определитель \(s\) требует внимательного контроля нормировок.
- Автор сам отмечает, что выбор \(e_{ijhk}=\pm\sqrt[4]{s/24}\) мотивируется формальными соображениями.
Статья носит теоретический характер; сравнение с реальными кристаллооптическими данными не проводится.
