Мандельштам, Л. И. & Тамм, И. Е. (1925) Электродинамика анизотропных сред в специальной теории относительности
Мандельштам, Леонид Исаакович and Тамм, Игорь Евгеньевич (1975) Электродинамика анизотропных сред в специальной теории относительности [1; 2].
Содержание
1 Краткое содержание
- Посвящена тензорному обобщению уравнений Минковского на анизотропные среды.
1.1 Цель работы
- Дать такое обобщение уравнений Минковского, которое было бы пригодно для анизотропных сред и записано в тензорной форме, допускающей перенос в общую теорию относительности.
- Авторы заранее отмечают, что надеются в следующей публикации применить результаты к оптике и определению метрики в движущихся средах.
1.1.1 § 1. Новое написание уравнений Минковского для изотропных сред
Рассматриваются непроводящие среды.
Исходно диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon\) и магнитная проницаемость \(\mu\) считаются скалярами.
Связь тензоров поля \(F_{ik}\) и \(f^{ik}\) устанавливается с участием тензора скорости \(ui\): \[ f_{ij}uj=\varepsilon F_{ik}u^k, \] \[ F_{kl}u_l+F_{li}u_k+F_{ik}u_l= \mu(f_{kl}u_l+f_{li}u_k+f_{ik}u_l). \]
Уравнения сохраняют обычную форму:
- \(\operatorname{div}f^{ij}=0\),
- \(\operatorname{rot}F_{ij}=0\)
Вводится тензор диэлектрической и магнитной проницаемости \(s_{ij}\).
В покоящейся системе его компоненты имеют диагональный вид: \[ s_{ij}=\operatorname{diag}\left(-\sqrt{\mu},-\sqrt{\mu},-\sqrt{\mu},\frac{1}{\varepsilon\sqrt{\mu}}\right). \]
С его помощью уравнения Минковского объединяются в одно тензорное соотношение.
Разрешая его относительно \(f^{ij}\), получают обратный тензор \(s^{ij}\) с компонентами \[ s^{ij}=\operatorname{diag}\left(-\frac1{\sqrt{\mu}},-\frac1{\sqrt{\mu}},-\frac1{\sqrt{\mu}},\varepsilon\sqrt{\mu}\right). \]
Соотношение между \(s_{ij}\) и \(s^{ij}\) аналогично соотношению между \(g_{ij}\) и \(g^{ij}\) в общей теории относительности.
Рассматриваются проводящие среды.
Ток \(Ji\) выражается через \(F_{\alpha\beta}\) и плотность заряда \(\rhoi\) с помощью тензора проводимости \(\lambda^{i\alpha\beta}\).
1.1.2 § 2. Анизотропные среды
Для анизотропных сред тензор проницаемостей не может быть тензором II ранга; необходим тензор IV ранга \(s_{ij\alpha\beta}\).
Основное уравнение записывается в форме \[ F_{ij}=s_{ij\alpha\beta}f^{\alpha\beta}. \]
Компоненты \(s_{ij\alpha\beta}\) в покоящейся системе определяются из требования, чтобы в ней уравнение было эквивалентно обычным соотношениям \[ D_i=\varepsilon_{ij}E_j,\qquad B_i=\mu_{ij}H_j. \]
Дополнительно требуется, чтобы при непрерывном переходе к изотропии \(s_{ij\alpha\beta}\) переходил в \(s_{i\alpha}s_{j\beta}\).
В системе главных направлений анизотропии (\(A\)-системе) ненулевые компоненты имеют вид: \[ S_{1212}=S_{2121}=\mu_3,\quad S_{1313}=S_{3131}=\mu_2,\quad S_{2323}=S_{3232}=\mu_1, \] \[ S_{1414}=S_{4141}=-\frac1{\varepsilon_1},\quad S_{2424}=S_{4242}=-\frac1{\varepsilon_2},\quad S_{3434}=S_{4343}=-\frac1{\varepsilon_3}. \]
Остальные недиагональные компоненты в \(A\)-системе исчезают; диагональные члены для уравнений несущественны.
Тензор \(s_{ij\alpha\beta}\) симметричен относительно перестановок \((i,\alpha)\), \((j,\beta)\) и \((i\alpha,j\beta)\).
В матричном виде он содержит 12 независимых величин \(\varepsilon_{ij}\) и \(\mu_{ij}\).
1.1.3 Выводы и перспективы
- Авторы подчёркивают, что тензорная форма уравнений позволяет перенести их в общую теорию относительности.
- Они также указывают, что тот факт, что в анизотропных средах тензор проницаемостей является тензором IV ранга, тесно связан с двойным лучепреломлением.
2 Резюме
- Посвящено ковариантному обобщению уравнений Минковского на случай анизотропных сред.
- Для анизотропных сред тензор диэлектрической и магнитной проницаемости должен иметь не второй, а четвёртый ранг.
- Предложена новая тензорная запись уравнений Минковского для изотропных непроводящих сред, в которой тензор скорости \(u^i\) явно не входит.
- Это достигается введением тензора диэлектрической и магнитной проницаемости \(s_{ij}\) и объединением двух основных уравнений в одно соотношение.
- Показано, что для анизотропных сред естественным обобщением является тензор IV ранга \(s_{ij\alpha\beta}\) \[ F_{ij}=s_{ij\alpha\beta}f^{\alpha\beta}. \]
- Сформулированы требования, определяющие компоненты \(s_{ij\alpha\beta}\) в покоящейся системе.
- Найден их явный вид в системе главных направлений анизотропии.
- Показано, что в этой системе тензор содержит 12 независимых величин \(\varepsilon_{ij}\) и \(\mu_{ij}\).
- Отмечена возможность переноса полученных уравнений в общую теорию относительности, а также связь тензора IV ранга с двойным лучепреломлением в анизотропных средах.
2.1 Замечания
- Наиболее интересные физические следствия, а именно связь тензора IV ранга с двойным лучепреломлением и применение к оптике движущихся сред, только анонсированы и не раскрыты.
- Требования, накладываемые на тензор \(s_{ij\alpha\beta}\), сформулированы не полностью.
- Расширение на проводящие среды дано очень кратко, фактически в виде указания на возможную форму записи.
