Структура математической модели

Структура математической модели.

1 Структура математической модели

• Моделирование как дисциплина охватывает разные типы модельных подходов. С нашей точки зрения эти подходы можно схематически описать единым образом. В данном случае структура исследования состоит из операциональных и теоретических частей. Операциональные части представлены процедурами приготовления системы и измерения. Также распространено описание операциональной части как входных и выходных данных.

• Теоретическая часть состоит из двух слоёв: модельного слоя и слоя реализации. Слой реализации описывает конкретную структуру эволюции системы.

• В зависимости от типа реализации, можно получать разные виды моделей:

  • математическую модель (реализация — математические выражения),
  • имитационная модель (реализация — алгоритм),
  • физическая модель (реализация — аналоговая система),
  • суррогатная модель (реализация — аппроксимация поведения).

• Каждый тип моделей имеет свою область применимости, свои преимущества и недостатки. Использование всего спектра моделей позволяет наиболее глубокое и всестороннее исследование моделируемой системы.

• Наиболее строгое исследование базируется, обычно, на математической модели. В этом случае модельный слой реализуется посредством математических выражений, описывающих эволюцию системы.

• Полученную математическую модель нужно сопоставить с экспериментальными данными, верифицировать её.

• Большинство научных и технических проблем требуют экспериментов и моделирования для получения результатов, определения ограничений, накладываемых на результат.

• Однако для многих реальных проблем одно только моделирование может занять несколько минут, часов, дней. В результате рутинные задачи, такие как оптимизация решений, исследование пространства решений, анализ чувствительности и анализ «что, если» становятся невозможными, поскольку они требуют тысяч или миллионов оценок моделирования.

2 Суррогатное моделирование

Один из способов упростить исследование — построить суррогатные модели (аппроксимационные модели, модели поверхности отклика, метамодели, модели чёрного ящика) (см. рис. \ref{fig:model-surrogate}), которые имитируют поведение исходной модели настолько близко, насколько это возможно, в то время как вычислительно дёшевы.

• Суррогатные

модели строятся с использованием подхода, основанного на данных. Точная внутренняя работа кода моделирования не предполагается известной (или даже понятой), важно только поведение ввода–вывода (приготовления–измерения). Модель строится на основе моделирования реакции на ограниченное количество (порой достаточно большое) выбранных точек данных

• Такого типа модели известны многим исследователям. Когда задействована только одна расчётная переменная, процесс построения суррогатной модели называется подгонкой кривой.

• Научная задача суррогатного моделирования заключается в создании суррогата, который является максимально точным, используя как можно меньше оценок моделирования.

• Процесс состоит из следующих основных этапов, которые могут чередоваться [1]:

  • выбор образца;
  • построение суррогатной модели и оптимизация параметров модели;
  • оценка точности суррогата.

• Для некоторых проблем природа истинной функции априори неизвестна, поэтому неясно, какая суррогатная модель будет наиболее точной. Кроме того, непонятно, как получить наиболее надёжные оценки точности данного суррогата.

• В данном случае модельный слой заменяется догадками исследователя.

Литература