Тензор проницаемостей для локального линейного случая

• Тензор проницаемостей для локального линейного случая.

• Статья:

  • Тензор проницаемостей в геометризованной теории Максвелла.
  • Constitutive tensor in the geometrized Maxwell theory [1].

1 Соглашения и обозначения

1. Будем использовать нотацию абстрактных индексов [2]. В данной нотации тензор как целостный объект обозначается просто индексом (например, \(x^{i}\)), компоненты обозначаются подчёркнутым индексом (например, \(x^{\crd{i}}\)).

2. Будем придерживаться следующих соглашений. Греческие индексы (\(\alpha\), \(\beta\)) будут относиться к четырёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: \(\crd{\alpha} = \overline{0,3}\). Латинские индексы из середины алфавита (\(i\), \(j\), \(k\)) будут относиться к трёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: \(\crd{i} = \overline{1,3}\).

3. Прописными латинскими буквами обозначим индексы шестимерного пространства: \(\crd{I} = \overline{1,6}\).

4. Запятой в индексе обозначается частная производная по соответствующей координате (\(f_{,i} := \partial_{i} f\)); точкой с запятой — ковариантная производная (\(f_{;i} := \nabla_{i}f\)).

5. Для записи уравнений электродинамики в работе используется система СГС симметричная [3].

2 Варианты физической среды

• Тензоры \(F_{\alpha \beta}\) и \(G^{\alpha \beta}\) имеют смысл кривизны в кокасательном (\(T^{*}X\)) и касательном (\(TX\)) расслоениях.

• Линейный нелокальный случай при наличии трансляционной симметрии сводится к линейному локальному случаю с помощью преобразования Фурье.

• Запишем нелокальную линейную связь между \(F\) и \(G\) следующим образом:

  \begin{equation} \label{eq:lambda:linear:nonlocal} G(x) = \int \lambda(x,s) \wedge F (s) \dd{s}. \end{equation}

• Предполагая наличие трансляционной инвариантности \(\lambda(x,s) = \lambda(x - s),\) запишем связь между \(F\) и \(G\):

  \begin{equation} \label{eq:lambda:nonlinear:local:furier} G^{\alpha \beta} (\omega, k_i) = \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} (\omega,k_i) F_{\gamma \delta}(\omega,k_i). \end{equation}

  Таблица 1: Варианты тензора напряжённостей

  	локальный	нелокальный
  линейный	\(G^{\alpha \beta} = \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} F_{\gamma \delta}\)	\(G(x) = \int \lambda(x,s) \wedge F (s) \dd{s}\)
  нелинейный	\(G^{\alpha \beta} = \lambda (F_{\gamma \delta})\)	\(G(x) = \int \lambda(x, F (s)) \dd{s}\)

3 Структура тензора проницаемостей

3.1 Представление тензора проницаемостей в пространстве \(\mathbb{R} ^{4}\)

• Тензор проницаемости \(\lambda ^{\alpha \beta} _{\gamma \delta} \) представляет собой 4-тензор.

• Будем считать, что отображение \(\lambda : \Lambda^2 M \to \Lambda_2 M\) линейное и локальное. Тогда его можно представить в следующем виде:

  \begin{equation} \label{eq:g_lambda_f} G^{\alpha \beta} = %\frac{1}{2} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} F_{\gamma \delta}, \end{equation}

  здесь \(\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) — тензор проницаемостей, содержащий информацию как об диэлектрической и магнитной проницаемостях, так и об электромагнитной связи [4–7].

• Видно, что \(\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) имеет следующую симметрию: \[\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} = \lambda^{[\alpha \beta] [\gamma \delta]}\]

• Для уточнения симметрии, тензор \(\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) можно представить в следующем виде: \[\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} = {}^{(1)} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} + {}^{(2)} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} + {}^{(3)} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}.\]

• Компоненты имеют следующую симметрию: \[ {}^{(1)} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} = \lambda^{([\alpha \beta] [\gamma \delta])}, \quad {}^{(2)} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} = \lambda^{[[\alpha \beta] [\gamma \delta]]}, \quad {}^{(3)} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} = \lambda^{[\alpha \beta \gamma \delta]}. \]

• Очевидно, что \(\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) имеет 36 независимых компонент, \({}^{(1)}\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) имеет 20 независимых компонент (основная часть, principal part), \({}^{(2)}\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) имеет 15 независимых компонент (skewon), \({}^{(3)}\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) имеет 1 независимую компоненту (axion).

• Будем рассматривать только часть \({}^{(1)}\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\).

• Запишем материальные уравнения:

  \begin{equation} \label{eq:constraint} \begin{cases} D^{i} &= \varepsilon^{i j} E_{j} + {}^{(1)}\gamma^{i}_{j} B^{j}, \\ H_{i} &= \qty(\mu^{-1})_{i j} B^{j} + {}^{(2)}\gamma^{j}_{i} E_{j}, \end{cases} \end{equation}

  где \(\varepsilon^{i j}\) и \(\mu^{i j}\) — тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей, \({}^{(1)}\gamma^{i}_{j}\) и \({}^{(2)}\gamma^{i}_{j}\) — перекрёстные члены.

• Учитывая структуру тензоров \(F_{\alpha \beta}\) и \(G^{\alpha \beta}\), а также уравнения связи, запишем:

  \begin{equation} \label{eq:f-g_lambda} \begin{gathered} F_{\crd{0}\crd{i}} = E_{\crd{i}}, \quad G^{\crd{0}\crd{i}} = - D^{\crd{i}}, \\ G^{\crd{i}\crd{j}} = - e^{\crd{i} \crd{j} \crd{k}} H_{\crd{k}}, \quad F_{\crd{i} \crd{j}} = - e_{\crd{i} \crd{j} \crd{k}} B^{\crd{k}}. \end{gathered} \end{equation}

• \(e _{ijk}\) есть альтернирующий тензор.

3.2 Представление тензора проницаемостей в пространствах \(A _{2} (\mathbb{R} ^{4})\) и \(A ^{2} (\mathbb{R} ^{4*})\)

• Будем рассматривать векторные пространства \(A ^{2} (\mathbb{R}^{4*})\) и \(A _{2} (\mathbb{R}^4)\) как типичные слои расслоений \(\Lambda ^{2} M\) и \(\Lambda _{2} M\).

• Для его представления используем известный трюк перехода в шестимерное пространство.

• Базис \(A _{2} (\mathbb{R}^4)\) состоит имеет вид \(\zeta _{I}, I=1,\ldots,6 \).

• Базис \(A ^{2} (\mathbb{R}^{4*})\) состоит имеет вид \(\zeta ^{I}, I=1,\ldots,6 \).

• Пусть \(\delta _{\mu}, \mu = 0,\ldots,3\) есть базис в \(\mathbb{R}^{4}\), \(\delta ^{\mu}, \mu = 0,\ldots,3\) есть базис в \(\mathbb{R} ^{4*}\).

• Определим базис \(\zeta _{I}\) в \(A _{2} (\mathbb{R}^4)\):

  \begin{equation} \label{eq:xi_I} \zeta _{i} = \delta _{0} \wedge \delta _{i}, \quad \zeta _{i+3} = \frac{1}{2} \varepsilon _{ijk} \delta _{j} \wedge \delta _{k}, \quad i,j,k = 1,\ldots,3. \end{equation}

• Определим базис \(\zeta ^{I}\) в \(A ^{2} (\mathbb{R} ^{4*})\):

  \begin{equation} \label{eq:xi^I} \zeta ^{i} = \delta ^{0} \wedge \delta ^{i}, \quad \zeta ^{i+3} = \frac{1}{2} \varepsilon ^{ijk} \delta ^{j} \wedge \delta ^{k}, \quad i,j,k = 1,\ldots,3. \end{equation}

• В этом базисе можно представить напряжённость электромагнитного поля \(F\) следующим образом:

  \begin{equation} \label{eq:FasVector} F = E _{i} \zeta ^{i} + B _{i} \zeta ^{i+3}. \end{equation}

• Разобъём тензор \(\lambda ^{IJ}\): \[\lambda ^{I J} = {}^{(1)} \lambda ^{I J} + {}^{(2)} \lambda ^{I J} + {}^{(3)} \lambda ^{I J}.\]

• Компоненты имеют следующую симметрию: \[ {}^{(1)} \lambda ^{I J} = \lambda ^{(I J)} - \lambda ^{K} _{K} \tilde{I} ^{I J}, \quad {}^{(2)} \lambda ^{I J} = \lambda ^{[I J]}, \quad {}^{(3)} \lambda ^{I J} = \lambda ^{K} _{K} \tilde{I} ^{I J}, \quad \tilde{I} := \mqty(\admat[0]{I ^{ij},I ^{ij}}). \]

• Распишем основную часть тензора проницаемостей:

  \begin{equation} \label{eq:lambda1IJ-as-matrix}

  \end{equation}

• Далее в этой статье будем опускать индекс у основной части тензора проницаемостей.

4 Риманова геометризация уравнений Максвелла

• Будем считать, что расслоение имеет структуру риманового многообразия.

• Мы можем ввести на многообразии риманову метрику, которая:

  • симметрична: \(g _{\alpha\beta} := g _{(\alpha\beta)}\);
  • метрика согласована со связностью: \(\nabla _{\alpha} g ^{\alpha\beta} := 0\);
  • это эквивалентно тому, что мы используем связность Леви–Чевиты.

• Введём эффективную метрику на базе расслоения \(g_{\alpha \beta}\).

• Метрика индуцируется на слои.

• Запишем лагранжиан электромагнитного поля в виде лагранжиана Янга–Миллса: \[ L = - \frac{1}{16 \pi c} G ^{\alpha\beta} F_{\alpha \beta} - \frac{1}{c^2} A_{\alpha} j^{\alpha} \sqrt{-g}. \]

• Или, расписав тензор \(G ^{\alpha\beta}\): \[L = - \frac{1}{16 \pi c} g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} F_{\alpha \beta} F_{\gamma \delta} \sqrt{-g} - \frac{1}{c^2} A_{\alpha} j^{\alpha} \sqrt{-g}.\]

• Построим тензор \(\lambda^{\alpha \beta \gamma \delta}\) следующим образом:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-geom-tamm} \lambda^{\alpha \beta \gamma \delta} = \sqrt{-g} g^{\alpha \beta} g^{\gamma \delta} = \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty( g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} + g^{\alpha \delta} g^{\beta \gamma} ) + \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty( g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} - g^{\alpha \delta} g^{\beta \gamma} ). \end{equation}

• Тогда материальные уравнения примут следующий вид (из симметрийных соображений): \[ G^{\alpha \beta} = \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty( g^{\alpha \gamma} g^{\beta \delta} - g^{\alpha \delta} g^{\beta \gamma} ) F_{\gamma \delta}. \]

• Распишем по компонентам, получим:

  \begin{equation} \begin{gathered} G^{0\crd{i}} = \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty(g^{00} g^{\crd{i}\crd{j}} – g^{0\crd{i}} g^{0\crd{j}} ) F_{0\crd{j}} + \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty(g^{0\crd{j}} g^{\crd{i}\crd{k}} – g^{0\crd{k}} g^{\crd{i}\crd{j}} ) F_{\crd{j}\crd{k}} , \\ G^{\crd{i}\crd{j}} = \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty( g^{\crd{i}0} g^{\crd{j}\crd{k}} – g^{0\crd{j}} g^{\crd{i}\crd{k}} ) F_{0\crd{k}} + \frac{\sqrt{-g}}{2} \qty( g^{\crd{i}\crd{k}} g^{\crd{j}\crd{l}} – g^{\crd{i}\crd{l}} g^{\crd{j}\crd{k}} ) F_{\crd{k}\crd{l}}. \end{gathered} \end{equation}

• Можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости:

  \begin{equation} \label{eq:e_ij} \varepsilon^{\crd{i} \crd{j}} =

  \sqrt{-g} \qty(g^{00} g^{\crd{i}\crd{j}} – g^{0\crd{i}} g^{0\crd{j}} ) . \end{equation}

• Можно формально выписать выражение для магнитной проницаемости:

  \begin{equation} \label{eq:mu_ij} (\mu^{-1})_{\crd{i} \crd{j}} = \sqrt{-g} \varepsilon_{\crd{m}\crd{n}\crd{i}} \varepsilon_{\crd{k}\crd{l}\crd{j}} g^{\crd{n}\crd{k}} g^{\crd{m}\crd{l}}. \end{equation}

• Таким образом геометризованные уравнения связи координатах имеют следующий вид:

  \begin{equation} \label{eq:geom-maxwell:tamm:decart} \begin{gathered} D^{i} = \varepsilon^{i j} E_{j} + {}^{(1)}\gamma^{i}_{j} B^{j}, \\ H_{i} = (\mu^{-1})_{i j} B^{j} + {}^{(2)}\gamma^{j}_{i} E_{j}, \\ \varepsilon^{\crd{i} \crd{j}} =

  \sqrt{-g} \qty(g^{00} g^{\crd{i}\crd{j}} – g^{0\crd{i}} g^{0\crd{j}} ) , \\ (\mu^{-1})_{\crd{i} \crd{j}} = \sqrt{-g} \varepsilon_{\crd{m}\crd{n}\crd{i}} \varepsilon_{\crd{k}\crd{l}\crd{j}} g^{\crd{n}\crd{k}} g^{\crd{m}\crd{l}}, \\

  = \sqrt{-g} \varepsilon_{\crd{k}\crd{l}\crd{j}} g^{0\crd{k}} g^{\crd{i}\crd{l}}. \end{gathered} \end{equation}

• Пусть пространство имеет вид:

  \begin{equation} \label{eq:R4-TxR3} \mathbb{R} ^{4} = \mathbb{R} ^{1} \times \mathbb{R} ^{3}. \end{equation}

• Тогда в римановой геометризации при условии \(g^{0 \crd{i}} = 0\) выполняется равенство

  \begin{equation} \label{eq:tamm:e=m} \varepsilon^{\crd{i} \crd{j}} = \mu^{\crd{i} \crd{j}} . \end{equation}

• Доказательство.

  • Заметим, что \(\Delta_{\crd{i} \crd{j}} = \varepsilon_{\crd{m}\crd{n}\crd{i}} \varepsilon_{\crd{k}\crd{l}\crd{j}} g^{\crd{n}\crd{k}} g^{\crd{m}\crd{l}}\) есть алгебраическое дополнение для \(g^{\crd{i}\crd{j}}\).
  • Запишем \[\varepsilon^{\crd{i} \crd{j}} (\mu^{-1})_{\crd{i} \crd{p}} = - \sqrt{-g} g^{00} g^{\crd{i}\crd{j}} \sqrt{-g} \varepsilon_{\crd{m}\crd{n}\crd{i}} \varepsilon_{\crd{k}\crd{l}\crd{p}} g^{\crd{n}\crd{k}} g^{\crd{m}\crd{l}} = g g^{00} \det{g^{\crd{k} \crd{l}}} \delta^{\crd{j}}_{\crd{p}} = \delta^{\crd{j}}_{\crd{p}}.\]
  • Отсюда следует, что \(\varepsilon^{\crd{i} \crd{j}} = \mu^{\crd{i} \crd{j}}\).

• Геометризованный тензор проницаемостей имеет следующий вид:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-geometric} \lambda ^{I J} = \mqty( -\varepsilon ^{ij} & {} ^{(1)} \gamma ^{i} _{j} \\ {} ^{(2)} \gamma ^{j} _{i} & \qty(\varepsilon ^{-1}) _{ij} ) \end{equation}

4.1 Обсуждение

• Ограничения:

  1. Поскольку метрический тензор \(g _{ij}\) имеет 10 компонент, то и геометризованный тензор проницаемостей не может иметь более 10 независимых компонент.
  2. Учитывая уравнение связи, можно рассматривать только среды с единичным импедансом.

• Впрочем, геометризованный вариант можно применить для приближения геометрической оптики, когда не используются отдельно диэлектрическая \(\varepsilon ^{ij}\) и магнитная \(\mu _{ij}\) проницаемости.

• Вместо этого в приближении геометрической оптики используют показатель преломления среды:

  \begin{equation} \label{eq:n-epsilon-mu} n ^{i} _{j} = \sqrt{ \varepsilon ^{i} _{k} \mu ^{k} _{j}}. \end{equation}

• В этом случае геометризованный тензор проницаемостей имеет следующий вид:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-geometric} \lambda ^{I J} = \mqty( - \qty(\sqrt {n}) ^{ij} & {} ^{(1)} \gamma ^{i} _{j} \\ {} ^{(2)} \gamma ^{j} _{i} & \qty(\frac{1}{\sqrt{n}}) _{ij} ) \end{equation}

5 Примеры сред

5.1 Линейные изотропные среды

• Наиболее элементарными электромагнитными средами являются линейные изотропные среды, например классический вакуум.

• Термин изотропный относится к инвариантности относительно пространственных вращений в выбранной системе отсчёта. Поворот любой замкнутой системы как целого не изменяет её физических свойств.

• В пространстве нет какого-то выделенного направления, относительно которого существует какая-либо особая симметрия. Все направления равноправны.

• Электромагнитные свойства среды не зависят от направления.

• Элементы тензора \(\lambda ^{IJ}\) имеют вид:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-isotropic-elements} \varepsilon ^{ij} = \varepsilon (x ^{i}) \delta ^{ij}, \quad \tilde{\mu} _{i j} := \qty(\mu ^{-1}(x ^{i})) \delta _{i j}, \quad {}^{(1)}\gamma^{i}_{j} =0, \quad {}^{(2)}\gamma^{j}_{i} =0. \end{equation}

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) в виде матрицы:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-isotropic} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{, -\varepsilon(x ^{i}) \delta ^{ij},}} & \mqty{\dmat{,0,}} \\ \mqty{\dmat{,0,}} & \mqty{\dmat{, \mu ^{-1}(x ^{i}) \delta _{ij},}} ) \end{equation}

• В данной случае матрица проницаемостей содержит только две независимых компоненты в лабораторной системе отсчёта.

• Функция \(\varepsilon (x ^{i})\) называется диэлектрической проницаемостью среды.

• Функция \(\mu (x ^{i})\) называется магнитной проницаемостью среды.

• Когда эти функции постоянны в выбранной системе отсчёта, то и среду называют однородной.

• Классический электромагнитный вакуум предполагается линейным, изотропным и однородным. Его диэлектрическая проницаемость (в системе СИ) обозначается через \(\varepsilon _{0}\), а магнитная проницаемость — через \(\mu _{0}\).

5.1.1 Случай геометрической оптики

• Возможно применение геометризованного тензора проницаемостей в приближении геометрической оптики.

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) для случая геометрической оптики:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-isotropic-geom-optics} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{, -\sqrt{n(x ^{i})} \delta ^{ij}, }} & \mqty{\dmat{,0,}} \\ \mqty{\dmat{,0,}} & \mqty{\dmat{, \frac{1}{\sqrt{n(x ^{i})}} \delta _{ij}, }} ) \end{equation}

• В данном случае матрица проницаемостей содержит только одну независимую компоненту.

5.2 Линейные оптические среды

• Предполагается, что диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon ^{ij}\) может быть неоднородной и (или) анизотропной.

• Наиболее распространённая неоднородность: матричные компоненты являются кусочно-постоянными; они претерпевают скачкообразные разрывы на границах раздела разнородных сред.

• Поскольку магнитной проницаемостью оптических сред пренебрегают, их принято считать диэлектрическими средами:

  \begin{equation} \label{eq:mu=1} \qty(\mu ^{-1}) _{ij} = \delta _{ij}. \end{equation}

• Если диэлектрическая проницаемость \(\varepsilon ^{ij}\) анизотропна (но симметрична), то можно определить главный репер, в котором она становится диагональной матрицей:

  \begin{equation} \label{eq:epsilon-diag} \varepsilon ^{ij} := \mathrm{diag} (\varepsilon _{x}, \varepsilon _{y}, \varepsilon _{z}). \end{equation}

• Диагональные элементы, являющиеся главными диэлектрическими проницаемостями, являются собственными значениями матрицы

  \begin{equation} \label{eq:epsilon-matrix} \varepsilon ^{i} _{j} = \varepsilon ^{i k} g _{jk} \end{equation}

• Поскольку матрица \(\varepsilon ^{ij}\) симметрична, собственные значения существуют и действительны, а собственные векторы ортогональны.

• Варианты собственных значений:

  • Когда все собственные значения равны, среду называют изотропной.
  • Когда два собственных значения равны, а третье отлично от них, среда называется одноосной анизотропной.
  • Когда все три собственных значения неравны, среда называется двуосной анизотропной.

• В более общем случае магнитная проницаемость не единична:

  \begin{equation} \label{eq:mu-diag} \qty(\mu ^{-1}) _{ij} = \mathrm{diag} ((\mu ^{-1}) _{x}, (\mu ^{-1}) _{y}, (\mu ^{-1}) _{z}). \end{equation}

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) в виде матрицы:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-linear-optical} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{-\varepsilon _{x}(x ^{i}), -\varepsilon _{y}(x ^{i}), -\varepsilon _{z}(x ^{i})}} & \mqty{\dmat{,0,}} \\ \mqty{\dmat{,0,}} & \mqty{\dmat{\mu ^{-1} _{x}(x ^{i}), \mu ^{-1} _{y}(x ^{i}), \mu ^{-1} _{z}(x ^{i})}} ) \end{equation}

5.2.1 Случай геометрической оптики

• Возможно применение геометризованного тензора проницаемостей в приближении геометрической оптики.

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) для случая геометрической оптики:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-isotropic-geom-optics} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{-\sqrt{n _{x}(x ^{i})}, -\sqrt{n _{y}(x ^{i})}, -\sqrt{n _{z}(x ^{i})}}} & \mqty{\dmat{,0,}} \\ \mqty{\dmat{,0,}} & \mqty{\dmat{\frac{1}{\sqrt{n _{x}(x ^{i})}}, \frac{1}{\sqrt{n _{y}(x ^{i})}}, \frac{1}{\sqrt{n _{z}(x ^{i})}}}} ) \end{equation}

• В данном случае матрица проницаемостей содержит три независимых компонент.

5.3 Биизотропные среды

• Особые свойства этих сред обусловлены связью между электрическими и магнитными полями, которая может быть описана некоторыми определяющими соотношениями.

• Биизотропные среды могут изменять поляризацию света либо при преломлении, либо при пропускании [8].

• Эти среды подобны изотропным средам, однако перекрёстные члены не равны нулю.

• Уравнения связи имеют следующий вид:

  \begin{equation} \label{eq:maxwell:bi-isotropic} \begin{aligned} D^{i} & = \varepsilon g ^{i j} E_{j} + \gamma g^{i}_{j} B^{j}, \\ H_{i} & = (\mu^{-1}) g_{i j} B^{j} + \gamma g^{j}_{i} E_{j}. \end{aligned} \end{equation}

• Элементы тензора \(\lambda ^{IJ}\) имеют вид:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-bi-isotropic-elements} \varepsilon ^{ij} = \varepsilon (x ^{i}) g ^{ij}, \quad \qty(\mu ^{-1}) _{i j} := \qty(\mu ^{-1}(x ^{i})) g _{i j}, \quad {}^{(1)}\gamma^{i}_{j} = \gamma (x ^{i}) g ^{i} _{j}, \quad {}^{(2)}\gamma^{j}_{i} = \gamma (x ^{i}) g ^{j} _{i}. \end{equation}

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) для биизотропной среды в виде матрицы:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-bi-isotropic} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{,-\varepsilon(x ^{i}) g ^{ij},}} & \mqty{\dmat{,\gamma (x ^{i}) g ^{i} _{j},}} \\ \mqty{\dmat{,\gamma (x ^{i}) g ^{j} _{i},}} & \mqty{\dmat{,\mu ^{-1}(x ^{i}) g _{ij},}} ) \end{equation}

5.3.1 Случай геометрической оптики

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) для биизотропной среды для случая геометрической оптики:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-biisotropic-geom-optics} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{,-\sqrt{n(x ^{i})} g ^{ij},}} & \mqty{\dmat{,\gamma (x ^{i}) g ^{i} _{j},}} \\ \mqty{\dmat{,\gamma (x ^{i}) g ^{j} _{i},}} & \mqty{\dmat{, n ^{-1/2}(x ^{i}) g _{ij},}} ) \end{equation}

• В данном случае матрица проницаемостей содержит две независимые компоненты.

5.4 Бианизотропные среды

• В бианизотропных средах диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость и коэффициент связи представляют собой полные тензоры.

• Уравнения связи имеют следующий вид:

  \begin{equation} \label{eq:maxwell:bi-anisotropic} \begin{aligned} D^{i} & = \varepsilon^{i j} E_{j} + {}^{(1)}\gamma^{i}_{j} B^{j}, \\ H_{i} & = (\mu^{-1})_{i j} B^{j} + {}^{(2)}\gamma^{j}_{i} E_{j}. \end{aligned} \end{equation}

• Элементы тензора \(\lambda ^{IJ}\) имеют вид:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-bi-anisotropic-elements} \varepsilon ^{ij} := \varepsilon ^{ij} (x ^{i}), \quad \qty(\mu ^{-1}) _{i j} := \qty(\mu ^{-1}(x ^{i})) _{i j} , \quad {}^{(1)}\gamma^{i}_{j} = \gamma ^{i} _{j} (x ^{i}) , \quad {}^{(2)}\gamma^{j}_{i} = \gamma ^{j} _{i} (x ^{i}). \end{equation}

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) для биизотропной среды в виде матрицы:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-bi-anisotropic} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{,-\varepsilon ^{ij}(x ^{i}) ,}} & \mqty{\dmat{,\gamma ^{i} _{j} (x ^{i}) ,}} \\ \mqty{\dmat{,\gamma ^{j} _{i} (x ^{i}),}} & \mqty{\dmat{,(\mu ^{-1}) _{ij}(x ^{i}),}} ) \end{equation}

5.4.1 Случай геометрической оптики

• Запишем \(\lambda ^{IJ}\) для бианизотропной среды для случая геометрической оптики:

  \begin{equation} \label{eq:lambda-biisotropic-geom-optics} \lambda ^{I J} = \mqty(\mqty{\dmat{,-\qty(\sqrt{n}) ^{ij} (x ^{i}),}} & \mqty{\dmat{,\gamma ^{i} _{j} (x ^{i}),}} \\ \mqty{\dmat{,\gamma ^{j} _{i} (x ^{i}) ,}} & \mqty{\dmat{,\qty(n ^{-1/2}) _{ij} (x ^{i}),}} ) \end{equation}

• В данном случае матрица проницаемостей содержит двадцать независимых компонент.

6 Обсуждение результатов

• В большинстве практических случаем число необходимых компонент менее десяти.
• Для случая бианизатропной среды количество компонент тензора проницаемости превышает десять компонент.

7 Заключение

• Геометризованная теория Максвелла в случае римановой геометризации требует, чтобы среда обладала единичным импедансом.
• Данное ограничение представляется слишком сильным в общем случае.
• Представляется, что геометризованная теория Максвелла в случае римановой геометризации не применима в случае полной теории Максвелла и в случае приближения волнового уравнения.
• Геометризованная теория Максвелла в случае римановой геометризации применима в основном для случая приближения геометрической оптики.
• Ограничением применения геометризованной теории Максвелла является количество свободных компонент в тензоре проницаемостей.
• В практически используемых случаях количество компонент меньше десяти.

Литература