Семинар Математическое моделирование, 2023-2024

Заседания семинара Математическое моделирование, 2023-2024 учебный год.

1 Семинар Математическое моделирование, 2023

DONE 1.1 <2023-09-28 Чт> М. М. Гамбарян, М. Д. Малых Обратимые разностные схемы для классических нелинейных осцилляторов

1.1.1 Докладчик

• Гамбарян Марк
• Аспирант кафедры математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН

1.1.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/231/
• Обратимые разностные схемы для классических нелинейных осцилляторов
• Гамбарян Марк
• Малых М.Д.
• Кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН

Обратимые разностные схемы можно составить для широкого класса нелинейных динамических — динамических систем с квадратичной правой частью, к которому принадлежат как все классические нелинейные осцилляторы, интегрируемые в эллиптических функциях, так и системы, не интегрируемые в классических трансцендентных функциях, напр., несимметричные гироскопы.

В компьютерных экспериментах мы с удивлением увидели, что точки приближенных решений, найденные по обратимым схемам для классических осцилляторов, выстраиваются в линии. Эллиптическим осцилляторам соответствует тот особый случай, когда точки не только точных, но и приближенных решений ложатся на эллиптические кривые.

Дискретная и непрерывные теории эллиптических осцилляторов описываются одними и теми же формулами: квадратура описывает переход от начальных данных к конечным, движение является периодическим, описывается мероморфными функциями и т.д. Вся разница состоит в том, что в дискретной теории дискрет ∆t подобран таким образом, что бирациональное преобразование, описывающее переход от старого положения системы к новому, продолжается до преобразования Кремоны.

• Reversible difference schemes for classical nonlinear oscillators
• Mark Gambaryan
• Mikhail Malykh
• Department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence, RUDN University

Reversible difference schemes can be constructed for a wide class of nonlinear dynamic with quadratic right-hand side, which includes both all classical nonlinear oscillators integrable in elliptic functions and systems that are not integrable in classical transcendental functions, e.g., asymmetric tops.

In the computer experiments we were surprised to see that the points of approximate solutions found by reversible schemes for classical oscillators line up into curves. Elliptic oscillators correspond to the special case, when the points of not only exact but also approximate solutions lie on elliptic curves.

The discrete and continuous theories of elliptic oscillators are described by the same formulas: the quadrature describes the transition from initial to final data, the motion is periodic, it is described by meromorphic functions, and so on. The whole difference lies in the fact that in the discrete theory the birational transformation describing the transition from the old position of the system to the new one is continued to the Cremona transformation.

1.1.3 Видео

DONE 1.2 [2023-10-12 Чт] Ковалёв И. А. Получение оценок и построение предельных характеристик для некоторых систем массового обслуживания с особенностями

1.2.1 Докладчик

• Ковалёв Иван Александрович
• ФГБОУ ВО «Вологодский государственный университет» (ВолГУ)

1.2.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/233/
• Получение оценок и построение предельных характеристик для некоторых систем массового обслуживания с особенностями
• по результатам диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 1.2.2 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
• Ковалёв Иван Александрович
• Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования “Вологодский государственный университет”, аспирант кафедры прикладной математики
• Научный руководитель: Зейфман Александр Израилевич, д.ф.-м.н., Вологодский государственный университет, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики

Предлагается вниманию доклад по результатам диссертационной работы на соискание ученой степени кандидата наук. Работа посвящена исследованию ряда новых систем массового обслуживания с особенностями с помощью метода, основанного на понятии логарифмической нормы. В докладе показано получение оценок скорости сходимости к предельным характеристикам, оценок устойчивости. Кроме того, в докладе представлены примеры применения разработанных алгоритмов и программ с применением численных методов для построения предельных характеристик соответствующих процессов.

• Obtaining estimates and computation of limiting characteristics for some queuing systems with features
• Kovalev Ivan Alexandrovich
• Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education “Vologda State University”, postgraduate student of the Department of Applied Mathematics
• Supervisor: Alexander Zeifman, D.Sc, professor, Department of Applied Mathematics, Vologda State University

We present a report on the results of the dissertation work for the degree of Candidate of Sciences. The work is devoted to the study of a number of new queuing systems with features using a method based on the concept of the logarithmic norm. The report shows obtaining estimates of the rate of convergence to the limiting characteristics, stability estimates. In addition, the report provides examples of the application of the developed algorithms and programs using numerical methods to construct the limiting characteristics of the corresponding processes.

1.2.3 Видео

DONE 1.3 <2023-10-25 Ср> Э.Л. Андре, А.Н. Цирулев Вычисление функций операторов в базисе Паули

1.3.1 Докладчик

• А.Н. Цирулев
• Кафедра общей математики и математической физики, Математический факультет, Тверской государственный университет, Тверь

1.3.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/239/
• Вычисление функций операторов в базисе Паули
• Э.Л. Андре, А.Н. Цирулев
• Факультет естественных наук, Университет Агостиньо Нето, Луанда, Ангола
• Кафедра общей математики и математической физики, Математический факультет, Тверской государственный университет, Тверь

Предлагаются новые алгоритмы аналитических (символьных) и высокоточных численных расчетов функций эрмитовых операторов в конечномерном гильбертовом пространстве. Оба эти метода основаны на представлении операторов в базисе Паули; они не обладают высокой универсальностью, но весьма полезны в квантовых вычислениях и при изучении моделей физики конденсированного состояния. Аналитический метод подходит для гамильтонианов, которые можно разложить в сумму частичных гамильтонианов, которые, вообще говоря, не являются чистыми операторами Паули, но удовлетворяют определенным (анти)коммутационным соотношениям. В численном методе используется интегральная формула Коши, в которой сложность вычисления операторных резольвент быстро уменьшается с уменьшением числа операторов Паули.

• Computing the functions of operators in Pauli basis
• E.L. Andre and A.N. Tsirulev
• Faculty of Sciences, Agostinho Neto University, Luanda, Angola
• Department of General Mathematics and Mathematical Physics, Faculty of Mathematics, Tver State University, Tver

We propose new algorithms for analytical (symbolic) and high precision numerical calculations of the functions of Hermitian operators in a finite dimensional Hilbert space. Both these methods are based on the representation of operators in the Pauli basis; they do not obey a high universality, but are very useful in quantum computations and in studying the models of condensed matter physics. The analytical method is suitable for Hamiltonians that can be decomposed into a sum of partial Hamiltonians, which, in general, are not purely Pauli operators, but satisfy some (anti)commutation relations. In the numerical method we use the Cauchy integral formula, in which the complexity of computing operator resolvents fast decreases with decreasing the number of Pauli operators.

1.3.3 Видео

DONE 1.4 <2023-11-23 Чт> Григорян О. А. Моделирование эволюции охлаждения нейтронных звезд

1.4.1 Докладчик

• Овик Александрович Григорян
• Лаборатория информационных технологий им. М. Г. Мещерякова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия
• Отдел вычислительной физики и ИТ, Национальная научная лаборатория им. А. И. Алиханяна (ЕрФИ), Ереван, Армения

1.4.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/240/
• Моделирование эволюции охлаждения нейтронных звезд
• Овик Александрович Григорян
• Лаборатория информационных технологий им. М. Г. Мещерякова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия
• Отдел вычислительной физики и ИТ, Национальная научная лаборатория им. А. И. Алиханяна (ЕрФИ), Ереван, Армения

Нейтронные звезды как релятивистские объекты описываются уравнениями общей теории относительности. Поэтому для моделирования их тепловой эволюции необходимо использовать уравнение состояния сверхплотной ядерной материи и её состава, а также модификации уравнения теплопереноса на случай релятивизма. Основными факторами охлаждения нейтронных звезд являются излучение нейтрино в ходе равновесных бета-процессов в горячей звездной среде: адронной материи во внутренней оболочке и возможной кварковой материи в ядре звезды. Особую роль в эволюции охлаждения играет сверхпроводящее состояние звездного вещества при высоких плотностях. Также важным аспектом является умение определять наборы параметров моделей, при которых моделирование температуры поверхности звезд будет удовлетворять известным современным данным наблюдений по температуре и возрасту десятков объектов. Нами был создан пакет программ, моделирующий эволюцию остывания нейтронных звезд для различных моделей ядерной материи с учетом модификаций средовых механизмов излучения нейтрино, сверхпроводящего состояния и свойств коры. Учтена возможность существования гиперонов, кварков, звезд-близнецов и темной материи внутри звезды. В программе также реализованы алгоритмы параллельных вычислений. Предложен метод извлечения модельно-зависимых вероятностей возможных значений масс наблюдаемых объектов на основе результатов эволюции охлаждения. Эти результаты можно использовать для валидации моделей ядерной материи в экстремальных условиях.

• Modeling the evolution of cooling of neutron stars
• Hovik Grigorian
• Meshcheryakov Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia
• Division of Computational Physics and IT, Alikhanyan National Science Laboratory (YerPhI), Yerevan, Armenia

Neutron stars, as relativistic objects, are described by the equations of general relativity. Therefore, for modeling their thermal evolution, it is necessary to use the equation of state of superdense nuclear matter and its composition, as well as modifications of the heat transfer equation for relativistic cases. The primary cooling factors of neutron stars are neutrino emissions during equilibrium beta processes in the hot stellar environment: in the hadronic matter of the inner shell and the possible quark matter in the star’s core. An essential role in the cooling evolution is played by the superconducting state of stellar matter at such high densities. Another important aspect is the ability to determine sets of model parameters under which the surface temperature modeling of stars will satisfy known contemporary observational data on the temperature and age of tens of objects. We have developed a software package that models the cooling evolution of neutron stars for various models of nuclear matter, taking into account modifications of neutrino emission mechanisms, superconducting states, and crust properties. The program accounts for the possibility of hyperons, quarks, twin stars and dark matter existing within the star. Parallel computing algorithms are also implemented in the software. A method is proposed for extracting model-dependent probabilities of possible values of the masses of observed objects based on the results of the cooling evolution. All these results can be used to validate nuclear matter models under extreme conditions.

1.4.3 Видео

DONE 1.5 <2023-12-07 Чт> Цапко Е. Д. Эффективные стратегии для численного решения сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений

1.5.1 Докладчик

• Цапко Екатерина Дмитриевна

1.5.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/243/
• Эффективные стратегии для численного решения сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений
• Цапко Екатерина Дмитриевна

В докладе автор представит результаты своей диссертационной работы, посвященной разработке численных методов для решения сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Центральная тема доклада - преодоление ограничений существующих численных методов, особенно при решении жестких задач, где традиционные подходы либо требуют значительного увеличения времени расчета, либо оказываются недостаточно эффективными. Автор предлагает модификацию метода продолжения решения по наилучшему аргументу, которая обеспечивает более высокую точность и эффективность в решении жестких и сверхжестких задач. В докладе рассмотрено математическое моделирование ряда тестовых и прикладных жестких задач. В качестве тестовых задач рассмотрены степенной и экспоненциальные тесты, предложенные в работах Н.Н. Калиткина и А.А. Белова. Вычислительный эксперимент показывает, что при степенной скорости роста наилучший аргумент, отсчитываемый по касательной вдоль интегральной кривой рассматриваемой задачи, эффективен. Однако при сверх степенной или экспоненциальной скорости роста он таковым не является. Предложенная автором модификация направлена на снижение жесткости таких задач. На тестовых задачах и прикладной задаче о сверхзвуковом течении в канале переменного сечения продемонстрированы преимущества и недостатки нового подхода. Особое внимание уделено теоретическим аспектам метода, а именно анализу устойчивости явного метода Эйлера для задачи, преобразованной к модифицированному наилучшему аргументу. Это позволит глубже понять принципы работы метода и его применение в различных областях научного исследования.

Разработанная вычислительная программа для ЭВМ получила государственную регистрацию: «Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью модифицированного наилучшего параметра». Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022610641, 13.01.2022г.

Работа была поддержана аспирантским грантом РФФИ: № 20-31-90054 «Численные методы решения сингулярно возмущенных начальных и краевых задач, моделирующих механические и физические явления». Сроки 2020-2022 годы.

Основные публикации:

1. Кузнецов Е. Б., Леонов С. С., Цапко Е. Д. Параметризация задачи Коши длянелинейных дифференциальных уравнений с контрастными структурами // Вестник Мордовского университета. 2018. Т. 28. № 4. С. 486-510. (WoS, ВАК)
2. Kuznetsov E. B., Leonov S. S., Tsapko E. D. A new numerical approach for solving initial value problems with exponential growth integral curves // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020. Vol. 927. No. 1. (Scopus, ВАК)
3. Kuznetsov E. B., Leonov S. S., Tsapko E. D. Applying the Best Parameterization Method and Its Modifications for Numerical Solving of Some Classes of Singularly Perturbed Problems // Advances in Theory and Practice of Computational Mechanics. Smart Innovation, Systems and Technologies. Springer, Singapore. 2022. Vol. 274. Pp. 311-330. (Scopus, ВАК)
4. Цапко Е. Д. Численное решение сингулярно возмущенной краевой задачисверхзвукового течения, преобразованной к модифицированному наилучшему аргументу // Журнал Средневолжского математического общества. 2022. Т. 24. № 3.

С. 304–316. (ВАК)

1. Кузнецов Е. Б., Леонов С. С., Цапко Е. Д. Оценка области абсолютной устойчивости численной схемы решения жестких задач Коши методом продолжения решения по параметру // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 4, стр. 557-572. (WoS, Scopus, RSCI, ВАК)

• Efficient strategies for numerical solution of singularly perturbed ordinary differential equations
• Ekaterina Tsapko

In the seminar the author will present the results of her dissertation work devoted to the development of numerical methods for solving singularly perturbed initial and boundary value problems for systems of differential equations. The central theme of the paper is overcoming the limitations of existing numerical methods, especially in solving stiff problems where traditional approaches either require a significant increase in computation time or prove to be insufficiently efficient. The author proposes a modification of the solution continuation method with respect to the best argument, which provides higher accuracy and efficiency in solving stiff and ultra-stiff problems. The work includes mathematical modeling of a number of test and applied stiff problems. As test problems the power-law and exponential growth tests proposed in the works by N.N. Kalitkin and A.A. Belov are considered. The computational experiment shows that at a power rate of growth the best argument, measured by the tangent along the integral curve of the considered problem, is effective. However, at the rate higher than the power rate of growth or exponential growth rate it is not. The modification proposed by the author is aimed at reducing the stiffness of such problems. The advantages and disadvantages of the new approach are shown on test problems and an applied problem of supersonic flow in a channel of variable cross-section. Particular attention is devoted to the theoretical aspects of the method, namely, the stability analysis of the explicit Euler method for the problem transformed to the best modified argument. This will provide a deeper understanding of the working principles of the method and its application in various fields of scientific research.

The developed computational program has received state registration: “Numerical solution of the system of ordinary differential equations using the modified best parameter”. Certificate of state registration of computer program No. 2022610641, 13.01.2022.

The research was supported by the postgraduate grant of the Russian Foundation for Basic Research: No. 20-31-90054 “Numerical methods for solving singularly perturbed initial and boundary value problems modeling mechanical and physical phenomena”. Terms 2020-2022.

Key publications:

1. Kuznetsov E. B., Leonov S. S., Tsapko E. D. Parameterization of the Cauchy problem for nonlinear differential equations with contrast structures // Vestnik of Mordovian University. 2018. Т. 28. № 4. С. 486-510. (in Russian) (WoS, VAK)
2. Kuznetsov E. B., Leonov S. S., Tsapko E. D. A new numerical approach for solving initial value problems with exponential growth integral curves // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2020. Vol. 927. No. 1. (Scopus, VAK)
3. Kuznetsov E. B., Leonov S. S., Tsapko E. D. Applying the Best Parameterization Method and Its Modifications for Numerical Solving of Some Classes of Singularly Perturbed Problems // Advances in Theory and Practice of Computational Mechanics. Smart Innovation, Systems and Technologies. Springer, Singapore. 2022. Vol. 274. Pp. 311-330. (Scopus, VAK)
4. Tsapko E. D. Numerical solution of the singularly perturbed boundary value problem of supersonic flow transformed to the best modified argument // Journal of the Middle Volga Mathematical Society. 2022. Т. 24. № 3. С. 304-316. (VAK)
5. Kuznetsov E. B., Leonov S. S., Tsapko E. D. Estimating the Domain of Absolute Stability of a Numerical Scheme Based on the Method of Solution Continuation with Respect to a Parameter for Solving Stiff Initial Value Problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2023, Vol. 63, No. 4, pp. 528–541. (WoS, Scopus, RSCI, VAK)

1.5.3 Видео

DONE 1.6 <2023-12-21 Чт> Айриян А. Конструкции кварк-адронного фазового перехода и байесовский анализа моделей уравнения состояния на основе данных многоканальной астрономии

1.6.1 Докладчик

• Александр Айриян
  • Лаборатория им. Мещерякова (ОИЯИ),
  • Лаборатория им. Алиханяна (ЕрФИ),
  • Государственный университет «Дубна»

1.6.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/244/
• Конструкции кварк-адронного фазового перехода и байесовский анализа моделей уравнения состояния на основе данных многоканальной астрономии
• Александр Айриян
  • Лаборатория им. Мещерякова (ОИЯИ),
  • Лаборатория им. Алиханяна (ЕрФИ),
  • Государственный университет «Дубна»

В исследовании ядерного вещества особенно увлекательными являются изучение возможного кварк-адронного фазового перехода при высоких плотностях, особенно в контексте астрофизических явлений, таких как пульсары. Потенциальное наличие таких фазовых переходов внутри пульсаров порождает концепцию гибридных структур нейтронных звезд, которое проявляется в возникновении звезд с идентичными массами, но различными радиусами (звёзд-близнецов). Для исследования этого явления полезно формулировать и применять упрощенные модели фазовых переходов в недрах компактных звёзд.

В данной докладе будут представлены различные подходы к двум отдельным сценариям возможных фазовых переходов. Валидация моделей уравнения состояния и конструкций фазовых переходов основана на соответствии результатов известным наблюдательным данным по компактным звездам. Одним из методов валидации является байесовский вывод, который является мощным статистическим инструментом для анализа при редких и неопределенных данных, особенно в оценке моделей уравнения состояния с использованием данных многоканальной астрономии. Основная цель такого анализа – установить количественную меру различных физических моделей звездного вещества, для изучение физических параметров в пределах реалистичных моделей уравнения состояния.

Доклад направлен на всестороннего обсуждения деталей, связанных с построением фазовых переходов и применением байесовским вывода для изучения звездного ядерного вещества.

• Quark-hadron phase transition construction and Bayesian Inference for analysis of EoS models based on multi-messenger astronomy data
• Alexander Ayriyan
  • Meshcheryakov Lab (JINR),
  • Alikhanian Lab (YerPhI),
  • Dubna State University

Particularly exciting in nuclear matter research is the study of possible quark-hadron phase transitions at high densities, especially in the context of astrophysical phenomena such as pulsars. The potential presence of such phase transitions inside pulsars gives rise to the concept of hybrid structures of neutron stars, which manifests itself in the emergence of stars with identical masses but different radii (twin stars). In order to study this phenomenon, it is useful to formulate and apply simplified models of phase transitions in the interiors of compact stars.

This talk will present different approaches to two distinct scenarios of possible phase transitions. Validation of equation of state models and phase transition constructions is based on the consistency of the results with known observational data on compact stars. One of the validation methods is Bayesian Inference, which is a powerful statistical tool for analysis when data are rare and uncertain, especially in estimating equation of state models using multi-messenger astronomy data. The main goal of such an analysis is to establish a quantitative measure of various physical models of stellar matter, for the study of physical parameters within realistic models of the equation of state.

The talk aims to provide a comprehensive discussion of the details associated with the construction of phase transitions and the application of Bayesian Inference to the study of stellar nuclear matter.

1.6.3 Видео

2 Семинар Математическое моделирование, 2024

DONE 2.1 [2024-01-31 Ср] Ловецкий К. П. Методы решения ОДУ, основанные на чебышевской интерполяции

2.1.1 Докладчик

• Ловецкий Константин Петрович
  • Кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН

2.1.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/245/
• Методы решения ОДУ, основанные на чебышевской интерполяции, интегрирующих множителях, матрицах спектрального дифференцирования и интегрирования
• Ловецкий Константин Петрович
  • Кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН

В докладе рассматривается метод чебышевской полиномиальной интерполяции в базисе из полиномов Чебышева 1-го рода. Основное внимание уделяется методу интерполяции на сетке Гаусса-Лобатто. Использование дискретной ортогональности чебышевских полиномов позволяет вычислять коэффициенты спектрального разложения с минимальными затратами, сводя процедуру решения к системе линейных уравнений с диагональной положительно определенной матрицей. Такой метод почти оптимальной аппроксимации совместно с алгоритмом интегрирующих множителей и использованием матриц спектрального интегрирования привел к созданию многоэтапных метода решения различных задач. Приводятся примеры решения «задачи Коши» с заданием начальных/конечных или промежуточных условий для ОДУ первого и второго порядков, методы вычисления определенных интегралов, метод интегрирования быстроосциллирующих функций.

• Methods for solving ODEs based on Chebyshev interpolation, integrating factors, spectral differentiation and integration matrices
• K. P. Lovetskiy
  • Department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence, RUDN University

The report discusses the method of Chebyshev polynomial interpolation in a basis of Chebyshev polynomials of the 1st kind. The focus is on the interpolation method on the Gauss-Lobatto grid. The use of discrete orthogonality of Chebyshev polynomials allows one to calculate the coefficients of spectral decomposition with minimal costs, reducing the solution procedure to a system of linear equations with a diagonal positive definite matrix. This approach of almost optimal approximation, together with the method of integrating factors and the use of spectral integration matrices, led to the creation of multi-stage methods for solving various problems. Examples are given of solving the “Cauchy problem” with setting initial/final or intermediate conditions for first- and second-order ODEs, methods for calculating definite integrals, and a method for integrating rapidly oscillating functions.

2.1.3 Видео

DONE 2.2 [2024-02-14 Ср] Чинь Ф. Т. Вариационный подход к дискретизации по времени уравнений Биркгофа для бесконечномерных систем

2.2.1 Докладчик

• Чинь Фыок Тоан
• аспирант
  • Математический институт им. С. М. Никольского, РУДН

2.2.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/246/
• Вариационный подход к дискретизации по времени уравнений Биркгофа для бесконечномерных систем
• Чинь Ф.Т
  • Математический институт им. С. М. Никольского, РУДН

Для численного решения задач механики физики широко используются разностные методы. При построении дискретных аналогов важно сохранить основные свойства исходной дифференциальной задачи. Основная цель данной работы — дискретизация системы уравнений вида \(C(x,t,u)u_{t} + E\left( x,t,u_{\alpha} \right) = 0\) на основе её функционала — действия по Гамильтону. Получены необходимые и достаточные условия её потенциальности относительно заданной билинейной формы. Построено действие по Гамильтону для данной системы и получено её представление в виде уравнений Биркгофа для бесконечномерных систем. Аппроксимируя построенный функционал его разностным аналогом, на основе вариационного принципа получен дискретный по времени аналог уравнений Биркгофа. Теоретические результаты проиллюстрированы на примере волнового уравнения с осевой симметрией.

• The variational approach to time discretization of Birkhoff equations for infinite-dimensional systems
• P. T. Trinh
  • S.M. Nikol’skii Mathematical Institute, RUDN University

Difference methods are widely used for the numerical solution of problems in mechanics and physics. When constructing discrete analogs, it is important to preserve the basic properties of the original differential problem. The main goal of this work is to discretize a system of equations \(C(x,t,u)u_{t} + E\left( x,t,u_{\alpha} \right) = 0\) based on its functional — the Hamiltonian action. Necessary and sufficient conditions for potentiality with respect to a given bilinear form are obtained. The Hamiltonian action for this system is constructed and its representation in the form of Birkhoff equations for infinite-dimensional systems is obtained. By approximating the constructed functional with its discrete analog, a discrete-time analog of Birkhoff equations is obtained based on the variational principle. Theoretical results are illustrated by the example of a wave equation with axial symmetry.

2.2.3 Видео

DONE 2.3 [2024-03-26 Вт] Орлов Ю. Н. - Линейное квантование динамических систем и принцип соответствия

2.3.1 Докладчик

• Орлов Юрий Николаевич
• д.ф.-м.н.
• ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

2.3.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/250/
• Линейное квантование динамических систем и принцип соответствия
• Орлов Юрий Николаевич
• ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Будет получено уравнение эволюции функции Вигнера для произвольных невырожденных гамильтоновых систем и показана его зависимость от правила квантования. Будет обсуждено соответствие между классической и квантовой статистикой: можно ли по одной из них построить другую с помощью некоторого преобразования в подходящем пространстве. Будет также рассмотрен алгоритм приближенного вычисления динамики и статистики с помощью конечнократных аппроксимаций по теореме Чернова о сходимости определенного итерационного процесса к полугруппе.

• Linear Quantization of Dynamical Systems and Classical Limit Principle
• Yu. N. Orlov
• Keldysh Institute of Applied Mathematics

The equation of the evolution of the Wigner function for arbitrary non-degenerate Hamiltonian systems will be obtained and its dependence on the quantization rule will be shown. The correspondence between classical and quantum statistics will be discussed: is it possible to construct the other from one of them using some transformation in a suitable space. An algorithm for approximate calculation of dynamics and statistics using finite-fold approximations according to Chernov’s theorem on the convergence of a certain iterative process to a semigroup will also be considered.

2.3.3 Видео

DONE 2.4 <2024-05-08 Ср> Белов А. А. - Разностные схемы с экспоненциальной сходимостью

2.4.1 Докладчик

• Белов Александр Александрович
  • д.ф.-м.н.
  • кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН

2.4.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/257/
• Разностные схемы с экспоненциальной сходимостью
• Белов Александр Александрович
• Кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН

Традиционные методы численного анализа основаны на полиномиальной интерполяции сеточной функции. Например, классические формулы разделенных разностей основаны на интерполяционном полиноме Ньютона, квадратура трапеций - на линейной интерполяции, квадратура Симпсона - на интерполяции параболой и т.п. В общем случае для гладких непериодических функций погрешность указанных сеточных формул убывает как некоторая степень шага. Такую сходимость называют степенной.

Полиномиальная интерполяция используется при составлении классических разностных схем для уравнений математической физики. Например, в методе конечных разностей непосредственно заменяют производные и интегралы соответствующими разностными формулами. В методе конечных элементов приближают решение линейной комбинацией кусочно-полиномиальных финитных функций. Поэтому для достаточно гладких непериодических решений сходимость классических разностных методов также является степенной.

В данной работе предлагается принципиально новый класс разностных методов, обладающих не степенной, а экспоненциальной сходимостью. При уменьшении шага сетки вдвое число верных знаков в решении примерно удваивается. Такая сходимость кардинально быстрее традиционной степенной. Типичный выигрыш по точности составляет от 2-3 порядков для плохо обусловленных задач до 10 порядков для хорошо обусловленных.

Предлагаемый подход основан на представлении искомой функции, ее производных и первообразных интегралами Коши по замкнутому контуру на комплексной плоскости. Для этих интегралов записывается сеточная квадратура трапеций. В силу периодичности подынтегральной функции такая квадратура сходится по экспоненциальному закону. То же верно для разностных схем на ее основе. Описанный подход реализован для важнейших классов задач математической физики. Среди них краевые задачи и задачи на собственные значения для ОДУ, задачи Коши для систем ОДУ, краевые задачи для эллиптических уравнений, начально-краевые задачи для параболических и гиперболических уравнений.

• Finite-difference schemes with exponential convergence
• Belov A. A.
• Department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence, RUDN University

Traditional methods of numerical analysis are based on polynomial interpolation of the grid function. For example, the classical formulas of divided differences are based on the Newton interpolation polynomial, the quadrature of trapezoids is based on linear interpolation, the Simpson quadrature is based on parabola interpolation, etc. In the general case, for smooth non-periodic functions, the error of these grid formulas decreases as a certain degree of mesh step. This convergence is called a power convergence.

Polynomial interpolation is used in constructing of classical difference schemes for equations of mathematical physics. For example, in the finite difference method, derivatives and integrals are directly replaced by the corresponding difference formulas. In the finite element method, the solution is approximated by a linear combination of piecewise polynomial finite functions. Therefore, for sufficiently smooth non-periodic solutions, the convergence of classical difference methods is also power-law.

We propose a fundamentally new class of difference methods with exponential rather than power-law convergence. When the grid step is halved, the number of correct decimal digits in the solution approximately doubles. Such convergence is dramatically faster than the traditional power-law one. The typical accuracy gain ranges from 2-3 orders of magnitude for poorly conditioned tasks to 10 orders of magnitude for well-conditioned ones.

The proposed approach is based on the representation of the desired function, its derivatives and primitive by the Cauchy integrals along a closed contour on the complex plane. The grid quadrature of trapezoids is written for these integrals. Due to the periodicity of the integrand, such a quadrature converges exponentially. The same is true for difference schemes based on it. The described approach is implemented for the most important classes of mathematical physics problems. Among them are boundary value problems and eigenvalue problems for ODEs, Cauchy problems for ODE systems, boundary value problems for elliptic equations, initial boundary value problems for parabolic and hyperbolic equations.

2.4.3 Видео

DONE 2.5 <2024-07-05 Пт> Сытова С. Н. - Моделирование нелинейной динамики электромагнитного излучения

2.5.1 Докладчик

• Сытова Светлана Николаевна
  • канд. физ.-мат. наук, доцент
  • заведующий лабораторией аналитических исследований Институт ядерных проблем Белорусского государственного университета
• Svetlana Sytova
  • PhD, head of laboratory of analytical research
  • Institute for Nuclear Problems, Belarusian State University

2.5.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/259/
• Моделирование нелинейной динамики электромагнитного излучения, генерируемого пучками заряженных частиц в неодномерных пространственно-периодических структурах
• Сытова Светлана Николаевна
• Институт ядерных проблем Белорусского государственного университета

Доклад посвящен исследованию методами математического моделирования сложных нелинейных, в том числе хаотических динамических процессов, возникающих в объемных лазерах на свободных электронах (ОЛСЭ).

Исследование линейного режима работы ОЛСЭ может быть проведено аналитически. Оно позволяет получить оценки на стартовые условия и физические параметры изучаемого устройства. Однако линейный режим работы быстро сменяется нелинейной стадией.

Математические модели, описывающие нелинейную стадию, представляют собой системы многомерных нелинейных интегро-дифференциальных или дифференциальных уравнений в частных производных.

Понятно, что решение поставленных задач может быть проведено только численными методами, поскольку аналитически получить решения таких систем уравнений невозможно. Такое моделирование может облегчить и упростить проведение полноценных дорогостоящих физических экспериментов, а также уточнить исходные феноменологические модели физических процессов, выверить и систематизировать результаты экспериментальных исследований.

В докладе представлены построенные обобщенные системы уравнений, описывающие различные варианты ОЛСЭ, предложенные для решения этих систем разностные схемы и комплекс программ VOLC (Volume Code) для экспресс-моделирования работы ОЛСЭ. Проведенное с его помощью моделирование процессов генерации и усиления электромагнитного излучения в различных геометриях и типах ОЛСЭ в диапазоне спектра от рентгеновского до миллиметрового и широкого набора параметров подтвердило все основные физические закономерности и принципы работы ОЛСЭ. Показано, что для эффективной генерации существует оптимальный набор параметров системы и при изменении параметров можно получить существенно большие значения амплитуд электромагнитного поля и принципиально другие режимы работы. Впервые показано, что ОЛСЭ является динамической хаотической системой, исследованы его пространственно-временная и фазовая динамика, промоделированы различные динамические режимы работы со сложной их трансформацией.

• Modelling of nonlinear dynamics of electromagnetic radiation generated by charged particle beams in non-one-dimensional spatially periodic structures
• Svetlana Sytova
• PhD, head of laboratory of analytical research
• Institute for Nuclear Problems, Belarusian State University

The report is devoted to the study by methods of mathematical modeling of complex nonlinear, including chaotic, dynamic processes that arise in volume free electron lasers (VFEL).

The study of the linear stage of VFEL operating can be carried out analytically. It allows to obtain estimates for the starting conditions and physical parameters of the device under study. However, the linear stage is quickly replaced by the nonlinear one.

Mathematical models describing the nonlinear stage are systems of nonlinear integro-differential or partial differential equations.

It is clear that the solution of the stated problems can only be carried out using numerical methods, since it is impossible to obtain solutions to such systems of equations analytically. Such modeling can facilitate and simplify full-fledged, expensive physical experiments, as well as clarify the initial phenomenological models of physical processes, verify and systematize the results of experimental studies. The report presents formulated generalized systems of equations that describe various variants of VFEL, difference schemes proposed for solving these systems, and a computer code VOLC (Volume Code) for express-simulation of VFEL operation. The simulation of processes of generation and amplification of electromagnetic radiation in various geometries and types of VFEL in the spectral range from X-ray to millimeter and a wide range of parameters confirmed all the basic physical laws and operating principles of VFEL. It is shown that for efficient generation there is an optimal set of system parameters, and by changing the parameters it is possible to obtain significantly larger values ​​of electromagnetic field amplitudes and fundamentally different operating modes. For the first time, it was shown that the VFEL is a dynamic chaotic system. Its spatio-temporal and phase dynamics were studied, and various dynamic operating modes with their complex transformation were modeled.

2.5.3 Видео