Семинар Математическое моделирование, 2024-2025

Заседания семинара Математическое моделирование, 2024-2025 учебный год.

1 Семинар Математическое моделирование, 2024

TODO 1.1 <2024-09-18 Ср> Лисица Ю. Т. - О числах больших и малых (топологические поля чисел Конвея и их пополнения)

1.1.1 Докладчик

• Лисица Юрий Трофимович
• доктор физико-математических наук
• Институт Наследия, ведущий научный сотрудник отдела культурологии
• Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет, профессор кафедры миссиологии Богословского факультета
• https://heritage-institute.ru/?employees=lisicza-yurij-trofimovich

1.1.2 Информация

• https://events.rudn.ru/event/260/
• О числах больших и малых (топологические поля чисел Конвея и их пополнения)
• Ю. Т. Лисица

Джон Конвей построил [1] числа, названные его именем, используя одновременно две известные в арифметики конструкции – сечение Дедекинда (A,A’) в области рациональных чисел и ординальные числа Мириманова-фон Неймана:

Конвей строит свои числа по трансфинитной индукции ординальных чисел {0,1,2,3,…,α,…}, 0≤α<Ω, и расслаивает их по «дням рождения»: 0-день, 1-день, 2-день, …, α -день, … .

Определение числа Конвея следующее: если L, R любые два множества чисел Конвея, такие что ни один элемент из L не ≥ каждого элемента из R, то существует единственное число Конвея такого вида: {L | R} и все числа имеют такую форму. Если x={L | R}, то типичный элемент их L обозначается через x^L, а типичный элемент из R обозначается через x^R и тогда число Конвея кратко записывается так: x={x^L | x^R}.

Мы говорим, что x≥y тогда и только тогда, когда ни для одного элемента x^R нет неравенства x^R≤y и ни для одного элемента x^L нет неравенства x≤y^L. Равенство чисел Конвея x=y тогда и только тогда, когда x≥y и y≥x. Строгие неравенства x>y тогда и только тогда, когда (x≥y & x≠y).

Определение суммы чисел x+y:

x+y={x^L+y, x+y^L | x^R+y, x+y^R}.

Определение обратного числа –x:

–x={–x^R | –x^L}.

Определение произведения чисел xy:

xy={x^Ly+xy^L–x^Ly^L, x^Ry+xy^R–x^Ry^R | x^Ly+xy^R–x^Ly^R, x^Ry+xy^L–x^Ry^L }.

Для любого числа x не равного нулю Конвей дал корректное и нетривиальное определение обратного числа 1/x.

Таким образом все числа Конвея составляют вполне упорядоченное Поле No, но с областью определения не на множестве, а на Несобственном классе.

Конвей дает очень важное и единственное(!) определения возведение в любую степень числа ω, т. е. для любого x из No имеется единственное число y=ω^x.

Главные результаты Конвея:

Теорема 1. Для любого многочлена Ax²ⁿ⁺¹+Bx²ⁿ+…+Cx+D с коэффициентами A,B,…,C,D из No и натурального числа n=0,1,2,… имеется корень x₀ в No.

Теорема 2. Для любого положительного числа Конвея x имеется корень n-й степени для любого натурального числа n≥2.

Следствие 1. Присоединяя к No мнимую единицу i, получим замкнутое алгебраическое Поле (Основная Теорема Алгебры для всех чисел Конвея).

Результаты в настоящей работе см. в [2]. Для всех порядковых чисел ξ=ω^{ω^μ}, 0≤μ<Ω, Строится подмножество O_ξ – всех числе Конвея, чей день рождения предшествует ξ-дню, которое после локализации в нуле является подполем Поля No и в нем вводится порядковая топология, а его пополнение является также подполем R_ξ Поля No. Если μ=0, то поле R_ω является одномерным полем действительных чисел; если 0<μ<Ω, то получаются нульмерные вполне упорядоченные подполя R_ξ всех чисел Конвея, для которых верны Теоремы 1 и 2 и Следствие 1. Более того, в этих полях определяются классические функции математического анализа и доказывается, что для конечных чисел эти функции непрерывны, а для бесконечных чисел Конвея они разрывны в каждой точке. Определяются также показательные функции a^x для любых конечных положительных чисел a≠1 и всех чисел Конвея a так и для некоторых положительных бесконечных чисел Конвея x. Рассматриваются соответствующие обратные функции – логарифмы с этими основаниями. Это монотонные функции и они разрывны в каждой своей точке определения. При этом конечное число Конвея x – это такое число, для которого найдется такое натуральное число n, что –n<x<n. В противном случае число Конвея a называется бесконечным числом. Мы здесь называем бесконечные числа x большими, а обратное к ним 1/x – малыми.

Для больших и малых чисел возникают совершенно новые явления: сколько раз не прибавляй малое число 1/x к себе, оно не выйдет за некоторый предел, который можно называть здесь условно «черной дырой». Например, малое число 1/ω<1/n для любого натурального числа n. Но 1/ω <2/ω<3/ω<…< k/ω<… <1/n для любого натурального числа n. А 1/ω <2/ω, 3/ω,…, k/ω,… <1/√ω, 2/√ω, 3/√ω,… <1/n для любого натурального числа n. И вообще, для любого ординала 0<α<Ω имеют место неравенства 1/ω <2/ω, 3/ω,…, k/ω,… <1/ω^1/α<2/ω^1/α<3/ω^1/α<k/ω^1/α<…< 1/ω^1/α+1<2/ω^1/α+1<3/ω^1/α+1<k/ω^1/α+1<…< 1/n для любого натурального числа n. То есть, даже постоянно увеличивающиеся малые числа взятые максимально в данном случае раз не может выйти в область конечных чисел {1/n}, 0<n< ω.

И таких непреодолимых «ям» в Поле чисел Конвея огромное количество, а именно, любая монотонно возрастающая или монотонно убывающая последовательность чисел Конвея является «ямой» для некоторого класса малых чисел.

Действительные числа – это конечные числа x, для которых

x={x–1, x–1/2, x–1/3, … | x+1, x+1/2, x+1/3, … }.

Ординальные числа – это числа α вида

α ={L |}.

Техника в работе [2] – это определение трансфинитных последовательностей x=(x_α)_0<α<ξ как отображений x:(0,ξ)→ O_ξ.

Определение 1. Трансфинитная последовательность x=(x_α)_0<α<ξ сходится к числу Конвея a из O_ξ, если для любого числа ε>0, ε из множества O_ξ, найдется такой ординал α₀, что для всех ординалов α₀<α<ξ выполняется неравенство:

​|x_α–a|< ε.

Определение 2. Трансфинитная последовательность x=(x_α)_0<α<ξ чисел Конвея из O_ξ называется ξ-фундаментальной, если для любого числа ε>0, ε из множества O_ξ, найдется такой ординал α₀, что для всех ординалов α₀<α, α’<ξ выполняется неравенство:

​|x_α–x_α’|< ε.

Определение 3. Две ξ-фундаментальные последовательности x=(x_α)_0<α<ξ и y=(y_α)_0<α<ξ называются эквивалентными, если для любого числа ε>0, ε из множества O_ξ, найдется такой ординал α₀, что для всех ординалов α₀<α<ξ выполняется неравенство:

​|x_α–y_α|< ε.

Определение 4. Множество [x=(x_α)_0<α<ξ] всех классов эквивалентных ξ-фундаметнальных последовательностей в множестве O_ξ называется пополнением этого множества и обозначается через R_ξ.

Теорема 3. Любая ξ-фундаментальные последовательности x=(x_α)_0<α<ξ в R_ξ сходится в R_ξ.

Теорема 4. R_ξ является подполем Поля No.

Теорема 5. Для любого многочлена Ax²ⁿ⁺¹+Bx²ⁿ+…+Cx+D с коэффициентами A,B,…,C,D из R_ξ и натурального числа n=0,1,2,… имеется корень x₀ в R_ξ.

Теорема 6. Для любого положительного числа Конвея x из R_ξ имеется корень n-й степени x^1/n для любого натурального числа n≥2, который принадлежит полю R_ξ.

Следствие 2. Присоединяя к R_ξ мнимую единицу i, получим замкнутое алгебраическое Поле (Основная Теорема Алгебры для всех чисел Конвея из поля R_ξ).

Основные ссылки

1. John H. Conway, On Numbers and Games, London Mathematical Society Monographs, No. 6, Academic Press, London-New-San Francisco, 1976.

2. Ju. T. Lisica, On all numbers great and small (topological fiels of Conway’s numbers and their completions) Читай статью on all numbers great and small (topological fields of conway’s numbers and their completions) на архив орг (arxivorg.ru)

• On numbers large and small (Topological fields of Conway numbers and their completions)
• Ju. T. Lisica
• St. Tikhon’s Orthodox University of Humanities Department of Missiology
• Doctor of Physical and Mathematical Sciences Professor

John Conway constructed [1] the numbers named after him using simultaneously two constructions known in arithmetic – the Dedekind section (A,A’) in the field of rational numbers and the Mirimanov-von Neumann ordinal numbers: {}=ø=0, {ø}=1, {ø,{ø}}=2, {ø,{ø},{ø,{ø}}}=3,…, {0,1,2,3,…}= ω, {0,1,2,3,…,ω}= ω+1,… Conway builds his numbers by transfinite induction of ordinal numbers {0,1,2,3,…,α,…}, 0≤α<Ω, and stratifies them by “birthdays”: born on day 0, born on day 1, born on day 2, …, born on day α, … .

The definition of the Conway number is as follows: if L, R are any two sets of Conway numbers, and no element of L is ≥ any member of R, then there is a Conway number {L | R} and all numbers are constructed in this way. If x={L | R} we write x^L for the typical member of L, and x^R for the typical member of R. For x itself we then write x={x^L ​|x^R}.

We say that x≥y iff no x^R≤y and x≤ no y^L. The equality of Conway numbers x=y iff x≥y and y≥x. Strict inequalities x>y if and only if (x≥y & x≠y).

The definition of the sum of the numbers x+y:

x+y={x^L+y, x+y^L | x^R+y, x+y^R}.

The definition of the inverse number is x:

–x={–x^R | –x^L}.

Definition of the product of the numbers xy:

xy={x^Ly+xy^L–x^Ly^L, x^Ry+xy^R–x^Ry^R | x^Ly+xy^R–x^Ly^R, x^Ry+xy^L–x^Ry^L }.

For any number x not equal to zero, Conway gave a correct and nontrivial definition of the inverse number 1/x. Thus, all Conway numbers make up a completely ordered Field No, but with the domain of definition not on the set, but on a Proper class. Conway gives a very important and unique(!) definition of the exponent of the number ω, i.e. for any x of No there is a unique number y=ωx.

Conway’s main results:

Theorem 1. For any polynomial Ax²ⁿ⁺¹+Bx²ⁿ+…+Cx+D with coefficients A, B, …, C, D of No and a natural number n=0,1,2,… there is a root x₀ in No.

Theorem 2. For any positive Conway number x, there is an n-th degree root for any natural number n≥2.

Corollary 1. By attaching an imaginary unit i to No, we obtain a closed algebraic Field (the basic Theorem of Algebra for all Conway numbers).

For the results in this paper, see [2]. For all ordinal numbers ξ=ω^{ω^μ}, 0≤μ<Ω, a subset O_ξ of all Conway numbers born before day ξ is constructed, which, after localization at zero, is a subfield of the Field No and an ordinal topology is introduced on it, and its completion R_ξ is also a subfield of the Field *No. If μ=0, then the field R_ω is a one-dimensional field of real numbers *R; if 0<μ<Ω, then zero-dimensional completely ordered subfields R_ξ of all Conway numbers are obtained, for which Theorems 1 and 2 and Corollary 1 are true. Moreover, classical mathematical analysis functions are determined in these fields and it is proved that for finite These functions are continuous, and for infinite Conway numbers they are discontinuous at every point. The exponential functions a^x are also defined for any finite positive numbers a≠1 and as well as for all Conway numbers a but for some positive infinite Conway numbers x. The corresponding inverse logarithm functions with these bases are considered. These are monotone functions and they are discontinuous at each of their definition points. In this case, a finite Conway number x is a number for which there is such a natural number n that –n<x<n. Otherwise, the Conway number a is called an infinite number. Here we call the infinite numbers x large, and the inverse of them 1/x – small. For large and small numbers, completely new phenomena arise: no matter how many times you add a small number 1/x to itself, it will not go beyond a certain limit, which can be conditionally called a “black hole” here. For example, a small number 1/ω<1/n for any natural number n. But 1/ω <2/ω<3/ω<…< k/ω<… <1/n for any natural number n. And 1/ω <2/ω, 3/ω,…, k/ω,… <1/√ω, 2/√ω, 3/√ω,… <1/n for any natural number n. And in general, for any ordinal 0<α<Ω there are inequalities 1/ω <2/ω, 3/ω,…, k/ω,… <1/ω^1/α<2/ω^1/α<3/ω^1/α<k/ω^1/α<…< 1/ω^1/α+1<2/ω^1/α+1<3/ω^1/α+1<k/ω^1/α+1<…< 1/n for any natural number n.

That is, even constantly increasing small numbers taken as many times as possible in this case cannot reach the range of finite numbers {1/n}, 0<n< ω.

And there are a huge number of such insurmountable “pits” in the Field of Conway numbers, namely, any monotonously increasing or monotonously decreasing sequence of Conway numbers is a “pit” for some class of small numbers.

The real numbers are the finite numbers x for which x={x–1, x–1/2, x–1/3, … | x+1, x+1/2, x+1/3, … }.

The ordinal numbers are α numbers of the form α ={L |}.

The technique in [2] is the definition of transfinite sequences x=(x_α)_0<α<ξ as maps of x:(0,ξ)→ O_ξ.

Definition 1. The transfinite sequence x=(x_α)_0<α<ξ converges to the Conway number a of O_ξ if for any number ε>0, ε from the set O_ξ, there is such an ordinal α₀ that for all ordinals α₀<α<ξ the inequality holds: |x_α–a|< ε.

Definition 2. A transfinite sequence x=(x_α)_0<α<ξ of Conway numbers from O_ξ is called ξ-fundamental if for any number ε>0, ε from the set O_ξ, there is such an ordinal α₀ that for all ordinals α₀<α, α’<ξ the inequality holds: |x_α–x_α’|< ε.

Definition 3. Two ξ-fundamental sequences x=(x_α)_0<α<ξ and y=(y_a)_0<α<ξ are called equivalent if for any number ε>0, ε from the set O_ξ, there is such an ordinal α₀ that for all ordinals α₀<α<ξ is satisfied inequality: |x_α–y_α|< ε.

Definition 4. The set [x=(x_α)_0<α<ξ] of all classes of equivalent ξ-fundamental sequences in the set O_ξ is called a completion of this set and is denoted by R_ξ.

Theorem 3. Any ξ-fundamental sequence x=(x_α)0<α<ξ in R_ξ converges in R_ξ.

Theorem 4. R_ξ is a subfield of Field No.

Theorem 5. For any polynomial Ax²ⁿ⁺¹+Bx²ⁿ+…+Cx+D with coefficients A, B, …, C, D of R_ξ and a natural number n=0,1,2,… there is a root x₀ in R_ξ.

Theorem 6. For any positive Conway number x of R_ξ, there is a root of the n-th degree x1/n for any natural number n≥2, which belongs to the field R_ξ.

Corollary 2. By attaching an imaginary unit i to R_ξ, we obtain a closed algebraic Field (the basic Theorem of Algebra for all Conway numbers from the field R_ξ).

The main references

1. John H. Conway, On Numbers and Games, London Mathematical Society Monographs, No. 6, Academic Press, London-New-San Francisco, 1976.

2. Ju. T. Lisica, On all numbers great and small (topological fiels of Conway’s numbers and their completions) Читай статью on all numbers great and small (topological fields of conway’s numbers and their completions) на архив орг (arxivorg.ru)