Модель Кэли–Кляйна.

1 Общая информация

• Кляйн, Феликс Христиан

2 Модельная структура теории

• Пуанкаре: Везде один и тот же математический аппарат (Евклидова геометрия)
• Пенроуз: В каждой части — свой формализм

3 Модель Кэли–Кляйна

3.1 Мероопределения

• Пространственные измерения сводятся к двум основным процедурам: к определению расстояния между двумя точками и к определению угла между двумя пересекающимися прямыми.
• Эти задачи можно охарактеризовать как проблему мероопределения в проективной геометрии.
• Согласно схеме Кэли–Клейна [1; 2] имеется три типа мероопределения:
  • эллиптическое,
  • параболическое,
  • гиперболическое.
• Будем обозначать эллиптическое мероопределение символом -, параболическое мероопределение символом 0, гиперболическое мероопределение символом +.

3.1.1 Эллиптическое мероопределение длин

• Эллиптическое мероопределение длин задаётся на прямой \(o\) следующим образом.
• Зададим вне \(o\) некоторую точку \(Q\) и положим, что расстояние между точками \(A\) и \(B\) прямой \(o\) равно углу \(\angle AQB\):

\[\tensor*[^{-}]{\mathop{\mathrm{d}}}{_{AB}} = \angle AQB.\]

• Для последовательных точек \(A\), \(B\), \(C\) справедливо следующее равенство:

\[\tensor*[^{-}]{\mathop{\mathrm{d}}}{_{AC}} + \tensor*[^{-}]{\mathop{\mathrm{d}}}{_{CB}} = \tensor*[^{-}]{\mathop{\mathrm{d}}}{_{AB}}.\]

• Примером эллиптического мероопределения длин может служить геометрия Римана.

3.2 Проективные геометрии Кэли–Кляйна

• Согласно схеме Кэли–Кляйна на плоскости определяются девять проективных геометрий.

3.3 Модель Кэли–Кляйна и комплексные числа

• \(\Delta < 0\), \(z = a + \ii b\), \(\ii^2 = -1\) — эллиптические комплексные числа (обыкновенные комплексные числа);
• \(\Delta = 0\), \(z = a + \iiz b\), \(\iiz^2 = 0\), \(\iiz \neq 0\) — параболические комплексные числа (дуальные числа);
• \(\Delta > 0\), \(z = a + \iip b\), \(\iip^2 = 1\), \(\iip \neq \pm 1\) — гиперболические комплексные числа (двойные числа).
• Только обыкновенные комплексные числа имеют структуру поля.
• Дуальные и двойные имеют структуру кольца, поскольку содержат нетривиальные делители нуля.

4 Гиперболические комплексные числа

4.1 Алгебраические свойства гиперболических чисел

• Для двух гиперболических чисел \(z_1 = x_1 + \iip y_1\) и \(z_2 = x_2 + \iip y_2\) выполняются следующие операции:
• Сложение: \(z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + \iip (y_1 + y_2)\).
• Умножение: \(z_1 z_2 = (x_1 x_2 + y_1 y_2) + \iip (x_1 y_2 + x_2 y_1)\).
• Сопряжение: \(z^{\ast} = x - \iip y\).
• Обратное число: \(z^{-1} = \dfrac{x}{x^2 + y^2} - \iip \dfrac{y}{x^2 - y^2}\).
• Деление: \(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{x_1 x_2 - y_1 y_2}{x^2_2 - y^2_2} + \iip \dfrac{x_1 y_1 - x_1 y_2}{x^2_2 - y^2_2}\).

4.2 Матричное представление

• Гиперболические числа можно представить в матричном виде:

\[x + \iip y \leftrightarrow \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}\]

• Тогда сложение, умножение чисел и нахождение обратного числа сводятся к сложению, умножению матриц и нахождению обратной матрицы.

4.3 Аналог формулы Эйлера

• \[e^{\iip\varphi} = \cosh{\varphi} + \iip \sinh{\varphi}, \varphi \in \mathbb{R}.\]
• Доказывается разложением в ряд экспоненты \(e^{\iip}\varphi\):

\[e^{\iip}\varphi = 1 + \frac{\iip \varphi}{1!} + \frac{(\iip \varphi)^2}{2!} + \frac{(\iip \varphi)^3}{3!} + \ldots\]

• Используя свойства \(\iip^2 = 1\), \(\iip^3 = \iip\), \(\iip^4 = 1\), \(\iip^5 = \iip\) и т.д. получим:

\[e^{\iip\varphi} = \underbrace{\left(1 + \frac{\varphi^2}{2!} + \frac{\varphi^4}{4!} + \ldots\right)}_{\cosh\varphi} + \underbrace{\iip \left(\frac{\varphi}{1!} + \frac{\varphi^3}{3!} + \ldots\right)}_{\sinh\varphi} = \cosh\varphi + \iip \sinh\varphi.\]

4.4 Модуль гиперболического числа

• Модуль \(r\) числа \(z = x + \iip y\) определяется формулой:

\[|z| = r = \begin{cases} \sqrt{x^2 - y^2}, &|x| > |y|,\\ 0, & |x| = |y|,\\ \sqrt{y^2 - x^2}, &|x| < |y|. \end{cases}\]

4.5 Гиперболическое представление

• Аналогично тригонометрическому представлению комплексных чисел можно ввести гиперболическое представление для гиперболических чисел:

\[z = x + \iip y = \begin{cases} r(\cosh\varphi + \iip \sinh\varphi), &|x| > |y|,\\ 0 , &|x| = |y|,\\ \iip r (\sinh\varphi + \iip \sinh\varphi), &|x| < |y|. \end{cases}\]

4.6 Экспоненциальное представление

• Из формулы Эйлера получим: \[z = \begin{cases} r e^{\iip \varphi}, &|x| > |y|,\\ 0, & |x| = |y|,\\ \iip r e^{\iip \varphi}, &|x| < |y|. \end{cases}\]

4.7 Гиперболический угол

• Величина \(\varphi\) — гиперболический угол или аргумент числа \(z\) (\(\varphi = \arg{z}\)) выражается через гиперболический ареатангенс.

\[\varphi = \begin{cases} \mathrm{arth}\,{\frac{y}{x}}, & |x| > |y|,\\ \mathrm{arth}\,{\frac{x}{y}}, & |x| < |y|. \end{cases}\]

4.8 Гиперболические числа и пространство Минковского \(\mathrm{E}^2_{1,1}\)

• С помощью гиперболических чисел можно представить точку в двумерном пространстве Минковского \(\mathrm{E}^2_{1,1}\):

\[x^0 + \iip x^1 \leftrightarrow (x^0, x^1) \in \mathrm{E}^2_{1,1}.\]

• Это возможно благодаря тому, что:

\[|\Delta z|^2 = \Delta z \cdot \Delta z^{\ast} = (\Delta x^0)^2 - (\Delta x^1)^2.\]

4.9 Двумерные преобразования Лоренца и гиперболические числа

• Преобразования Лоренца \((ct, x) \to (ct^\prime, x^\prime)\) в классическом виде:

\[\begin{pmatrix} c t^\prime\\ x^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\frac{v}{c}\\ -\gamma\frac{v}{c} & \gamma\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} ct\\ x \end{pmatrix},\] где \(\gamma\) — коэффициент Лоренца: \[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\]

4.10 Двумерные преобразования Лоренца и гиперболические числа

• Так как \[\cosh\varphi = 1 / \sqrt{1 - \tanh^2\varphi}, \tanh^2{\varphi} \leqslant 1,\]

то положив \(\tanh\varphi = v/c\) получим \[\cosh\varphi = \gamma\] и \[\sinh\varphi = \tanh\varphi\cosh\varphi = \gamma \frac{v}{c}.\]

• Эти соотношения позволяют перейти к гиперболическому виду матрицы преобразования Лоренца.

4.11 Двумерные преобразования Лоренца и гиперболические числа

\begin{equation} \begin{pmatrix} c t^\prime\\ x^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\frac{v}{c}\\ -\gamma\frac{v}{c} & \gamma\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} ct\\ x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi\\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} ct\\ x \end{pmatrix} \end{equation}

• Используем матричное представление гиперболических чисел:

\begin{equation} x + \iip y \leftrightarrow \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}. \end{equation}

• Заменяем матрицу преобразования Лоренца на соответствующее ей гиперболическое число:

\begin{equation} \begin{pmatrix} \cosh\varphi & -\sinh\varphi\\ -\sinh\varphi & \cosh\varphi\\ \end{pmatrix} \leftrightarrow \cosh\varphi - \iip \sinh\varphi = e^{-\iip \varphi}. \end{equation}

4.12 Двумерные преобразования Лоренца и гиперболические числа

• В экспоненциальном виде гиперболического числа преобразование Лоренца сводится к соотношению

\[(ct^\prime, x^\prime) = e^{-\varphi \iip}(ct, x).\]

• То есть определяется гиперболическим углом \(\varphi\).

4.13 Формула сложения скоростей

• Формулу сложения скоростей можно вывести выполнив два преобразования Лоренца подряд.

\begin{equation} \begin{gathered} (ct^\prime, x^\prime) = e^{-\iip\varphi_1}(ct, x),\\ (ct^{\prime\prime}, x^{\prime\prime}) = e^{-\iip\varphi_2}(ct^\prime, x^\prime),\\ (ct^{\prime\prime}, x^{\prime\prime}) = e^{-\iip\varphi_2}e^{-\iip\varphi_1}(ct^\prime, x^\prime) = e^{-\iip(\varphi_1+\varphi_2)}(ct, x) = e^{-\iip\varphi_3}(ct, x). \end{gathered} \end{equation}

• Композиция двух преобразований Лоренца свелось к сложению гиперболических углов: \[\varphi_3 = \varphi_1 + \varphi_2.\]

4.14 Формула сложения скоростей

• Учитывая, что \(\tanh\varphi = v/c\) получим:

\[\tanh\varphi_3 = \tanh(\varphi_1 + \varphi_2) = \dfrac{\tanh\varphi_1 + \tanh\varphi_2}{1 - \tanh\varphi_1\tanh\varphi_2} = \dfrac{v_1/c + v_2/c}{1 - v_1v_2/c^2}.\]

• Заменяя \(\tanh\varphi_3 = v_3/c\) получим правило сложения скоростей

\[v_3 = c \dfrac{v_1/c + v_2/c}{1 - v_1v_2/c^2} = \dfrac{v_1 + v_2}{1 - v_1v_2/c^2}.\]

4.15 Умножение скорости на число

• Рассмотрим операцию умножения вектора скорости на скаляр (\(\alpha \in \mathbb{R}\)), что эквивалентно умножению гиперболического угла на число: \[\varphi_2 = \alpha \varphi_1.\]
• Выражая гиперболический тангенс через экспоненту, получаем:

\[\tanh\varphi_2 = \tanh\alpha\varphi_1 = \dfrac{e^{2\alpha\varphi_1} - 1}{e^{2\alpha\varphi_1} + 1} = \dfrac{e^{\alpha\ln\dfrac{1 + v/c}{1 - v/c}} - 1}{e^{\alpha\ln\dfrac{1 + v/c}{1 - v/c}} + 1} = \dfrac{\left(\dfrac{1 + v/c}{1-v/c}\right)^\alpha - 1}{\left(\dfrac{1 + v/c}{1-v/c}\right)^\alpha + 1}\]

• Учитывая \(\tanh\varphi = v / c\) получаем:

\[v_2 = c \dfrac{(1 + v/c)^\alpha - (1 - v/c)^\alpha}{(1 + v/c)^\alpha + (1 - v/c)^\alpha}.\]

4.16 Умножение скорости на число

• В качестве проверки данной формулы можно вычислить \(2v\) как \(v + v\) и сравнить результаты.
• Пользуясь формулой умножения скорости на скаляр, получим:

\[2v = c \dfrac{(1 + v/c)^2 - (1 - v/c)^2}{(1 + v/c)^2 + (1 - v/c)^2} = c\dfrac{4\frac{v}{c}}{2\left(1 + \frac{v^2}{c^2}\right)} = \dfrac{2v}{1 + \frac{v^2}{c^2}}.\]

• Используя же сложение скоростей, также получим: \[v + v = \dfrac{2v}{1+\frac{v^2}{с^2}}.\]
• Откуда видно, что результаты совпадают.

5 Релятивистские операции

• Для реализации математического аппарата операций в пространстве Минковского предлагается использовать систему гиперболических комплексных чисел.

• Для простоты описания мы рассматриваем только одномерные движения.

• При описании полного пространства Минковского необходимо будет перейти от комплексных чисел к более сложным объектам, например, к соответствующего типа кватернионам [3–6].

• Релятивистские расчёты в общем случае некоммутативны [7; 8].

• Гиперболическое комплексное число \(z = r \exp{\iip \varphi}\) соответствует точке в пространстве Минковского.

• Аргумент \(\varphi\) комплексного числа \(z\) представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта.

• Аргумент связан со скоростью следующим соотношением:

\[\varphi = \artanh \frac{v}{c}.\]

• Он также имеет название быстроты [7; 9].

• Последовательность действий следующая (будем рассматривать только времениподобные интервалы):

• В рамках операциональной части приготовления системы обычные величины переводятся в форму гиперболических комплексных чисел \({}^{+}\mathbb{C}\). Поскольку скорости переводятся во вращения во временной плоскости (бусты), необходимо выполнить следующую операцию: \[\frac{v}{c} \to \tanh \varphi,\]

• Получим соответствующее комплексное число: \[z = \exp{\iip \artanh \frac{v}{c}}.\]

• Здесь \(\varphi\) — аргумент соответствующего комплексного числа, модулем комплексного числа мы пренебрегаем.

• В теоретической части производятся вычисления над получившимися комплексными числами.

• В рамках измерительной операциональной части производится перевод выражений в гиперболических комплексных числах \({}^{+}\mathbb{C}\) в выражения в действительных числах, описывающих релятивистские соотношения \(\Lambda\): \[\varphi \to \artanh \frac{v}{c}.\]

• Соответствующая релятивистская скорость будет иметь вид: \[\label{eq:v=c_tanh_varphi} v_{\Lambda} = c \tanh \varphi.\]

• Для удобства, в рамках одномерных движений мы можем ввести символ эйнштейновских операций \(\rel\), непосредственно преобразующий операцию \(\mathrm{Op}_{\mathrm{Gal}}\) в пространстве Галилея в операцию \(\mathrm{Op}_{\Lambda}\) в пространстве Лоренца:

\[\mathrm{Op}_{\Lambda} = \rel(\mathrm{Op}_{\mathrm{Gal}}).\]

• Данная операция маскирует полный цикл перехода от нерелятивистских выражений \(\mathrm{Gal}\) к релятивистским \(\Lambda\) посредством гиперболических комплексных чисел.

6 Основные алгебраические операции

• Выпишем основные операции.

6.1 Сложение скоростей

• Продемонстрируем операцию сложения, как выполняя полный цикл преобразования, так и выполняя короткое релятивистское преобразование \(\rel\).
• Преобразование Лоренца определяется умножением на гиперболическое комплексное число с единичным модулем \(\exp{\iip \psi}\), в результате плоскость Минковского поворачивается на угол \(\psi\):

\[\label{eq:rel:sum:rapidity} z_{1}(\varphi) z_{2}(\psi) = \exp{\iip \varphi} \exp{\iip \psi} = \exp{\iip (\varphi + \psi)} = z(\varphi + \psi).\]

• Заменив быстроты на скорости, получим:

\[z\qty(\artanh{\frac{v_{1}}{c}} + \artanh{\frac{v_{2}}{c}}) = \exp{\iip \qty(\artanh{\frac{v_{1}}{c}} + \artanh{\frac{v_{2}}{c}})}.\]

• Перейдём к действительным релятивистским скоростям:

\[(v_{1} + v_{2})_{\Lambda} = c \tanh(\artanh{\frac{v_{1}}{c}} + \artanh{\frac{v_{2}}{c}}).\]

• Продемонстрируем то же самое с помощью операции \(\rel\).
• Запишем операцию сложения:

\[\begin{gathered} \label{eq:rel_v+v} \rel ( v_{1} + v_{2} ) = c \tanh(\artanh{\frac{v_{1}}{c}} + \artanh{\frac{v_{2}}{c}}) = \\

c \frac{\tanh{\artanh{\dfrac{v_{1}}{c}}}+\tanh{\artanh{\dfrac{v_{2}}{c}}}} {1 + \tanh{\artanh{\dfrac{v_{1}}{c}}}\tanh{\artanh{\dfrac{v_{2}}{c}}}} % = \\

\frac{v_{1} + v_{2}}{1 + \dfrac{v_{1} v_{2}}{c^2}}. \end{gathered}\]

• Данную операцию можно записать для произвольного количества операндов.
• Для трёх операндов получим следующее выражение:

\[\label{eq:rel_v+v+v} \rel ( v_{1} + v_{2} + v_{3} ) % \\

\frac{v_{1} + v_{2} + v_{3} + \dfrac{v_{1} v_{2} v_{3}}{c^2}} {1 + \dfrac{v_{1} v_{2} + v_{1} v_{3} + v_{2} v_{3} }{c^2} }.\]

• Операция сложения в предложенном формализме совпадает с общепринятой, но при этом проще в применении.

6.2 Умножение скоростей

• Операция умножения скоростей обычно не используется при релятивистских расчётах.
• Однако мы введём её для полноты изложения.
• Заметим, что поскольку мы конструируем релятивистские операции не для собственно скоростей, а для быстрот, то в правой части мы получаем множитель \(c^{2}\) (сравните с [10; 11]):

\[\begin{gathered} \label{eq:rel_vv} \rel ( v_{1} v_{2} ) = c^{2} \tanh(\artanh{\frac{v_{1}}{c}} \artanh{\frac{v_{2}}{c}}) = \\

c^{2} \tanh( \frac {1}{2} \ln(\frac{1+\flatfrac{v_{1}}{c}}{1-\flatfrac{v_{1}}{c}}) \frac {1}{2} \ln(\frac{1+\flatfrac{v_{2}}{c}}{1-\flatfrac{v_{2}}{c}}) ) = \\

c^{2} \frac{ \exp[\dfrac {1}{2} \ln(\dfrac{1+\flatfrac{v_{1}}{c}}{1-\flatfrac{v_{1}}{c}}) \ln(\dfrac{1+\flatfrac{v_{2}}{c}}{1-\flatfrac{v_{2}}{c}}) ] - 1 }{ \exp[\dfrac {1}{2} \ln(\dfrac{1+\flatfrac{v_{1}}{c}}{1-\flatfrac{v_{1}}{c}}) \ln(\dfrac{1+\flatfrac{v_{2}}{c}}{1-\flatfrac{v_{2}}{c}}) ] + 1 }. \end{gathered}\]

6.3 Умножение на число

• Рассмотрим умножение вектора скорости на число \(k \in \mathbb{R}\) в предложенном представлении (сравните с [12; 13]):

\begin{equation} \begin{gathered} \label{eq:rel_kv} \rel ( k v ) = c \tanh(k \artanh{\frac{v}{c}}) = \\ {} = % = c \frac{ \exp[k \ln(\frac{1+\flatfrac{v}{c}}{1-\flatfrac{v}{c}}) ] - 1 }{ \exp[k \ln(\frac{1+\flatfrac{v}{c}}{1-\flatfrac{v}{c}}) ] + 1 }

c \frac{ \qty(\frac{1+\flatfrac{v}{c}}{1-\flatfrac{v}{c}})^{k} - 1 }{ \qty(\frac{1+\flatfrac{v}{c}}{1-\flatfrac{v}{c}})^{k} + 1 } = \\ {} = % = c \frac{ \qty(1+\frac{v}{c})^{k} - \qty(1-\frac{v}{c})^{k} }{ \qty(1+\frac{v}{c})^{k} + \qty(1-\frac{v}{c})^{k} }. \end{gathered} \end{equation}

• Это выражение никогда не превысит скорость света \(c\): \[\label{eq:rel_kv:lim} \lim_{k \to \infty} \rel ( k v ) = c.\]

• В качестве примера можно записать выражение для \(\rel(2v)\).

• Учтём: \[\label{eq:rel_v+v:test} \rel ( 2 v ) = \rel ( v + v )

  \frac{2 v}{1 + \dfrac{v^2}{c^2}}.\]

• Получим:

\begin{equation} \label{eq:rel_2v:test} \rel ( 2 v )

c \frac{ \qty(1+\frac{v}{c})^{2}

\qty(1-\frac{v}{c})^{2}

}{ \qty(1+\frac{v}{c})^{2} + \qty(1-\frac{v}{c})^{2} } % \\

c \frac{4 \dfrac{v}{c}} {2 \qty(1 + \dfrac{v^2}{c^2})} = \frac{2 v}{1 + \dfrac{v^2}{c^2}}. \end{equation}

• Предлагаемое представление не вносит противоречия в процедуру сложения скоростей.

• Процедура умножения скорости на число согласована с процедурой сложения скоростей.

• Аналогично, можно записать выражение для \(\rel(3v)\).

• Учитывая: \[\label{eq:rel_v+v+v:test} \rel ( 3 v ) = \rel ( v + v + v )

  \frac{3 v + \dfrac{v^3}{c^2}}{1 + 3 \dfrac{v^2}{c^2}}.\]

• Получим:

  \begin{equation} \label{eq:rel_3v:test} \rel ( 3 v )

  c \frac{ \qty(1+\frac{v}{c})^{3}

  \qty(1-\frac{v}{c})^{3} }{ \qty(1+\frac{v}{c})^{3} + \qty(1-\frac{v}{c})^{3} }

  \frac{3 v + \dfrac{v^3}{c^2}}{1 + 3 \dfrac{v^2}{c^2}}. \end{equation}

7 Снятие несогласованностей релятивистских операций

7.1 Пример несогласованности математического аппарата частной теории относительности

• При умножении формальная скорость \(v\) превосходит скорость света \(c\).
• Наклонное падение луча \[v = c / (n\sin\alpha)\].
• Световой зайчик (пятно) \[v = \omega r\]

7.2 Наклонное падение

• Перепишем соотношение \(v = c / (n\sin\alpha)\) в релятивистском случае:

  \begin{equation} \label{eq:v=c/sin:rel} v = \rel \left( \frac{c}{\sin{\varphi}} \right)

  c \frac{ \qty(1+\frac{c}{c})^{{1}/{\sin{\varphi}}}

  \qty(1-\frac{c}{c})^{{1}/{\sin{\varphi}}} }{ \qty(1+\frac{c}{c})^{{1}/{\sin{\varphi}}} + \qty(1-\frac{c}{c})^{{1}/{\sin{\varphi}}} }

  c. \end{equation}

7.3 Фазовая скорость

• Заменим в \(v = \omega r\) обычное умножение на релятивистское:

\begin{equation} \label{eq:phase-velocity:rel} v_{p}(\varphi) = \rel \qty( \frac{v_{p}(0)}{\cos{\varphi}} )

c \frac{ \qty(1+\frac{v_{p}(0)}{c})^{\flatfrac{1}{\cos{\varphi}}} - \qty(1-\frac{v_{p}(0)}{c})^{\flatfrac{1}{\cos{\varphi}}} }{ \qty(1+\frac{v_{p}(0)}{c})^{\flatfrac{1}{\cos{\varphi}}} + \qty(1-\frac{v_{p}(0)}{c})^{\flatfrac{1}{\cos{\varphi}}} }. \end{equation}

• Запишем предел:

\[\lim_{\cos{\varphi} \to 0} v_{p}(\varphi) = c.\]

• Фазовая скорость не превышает скорость света.

• Таким образом, при последовательном применении предложенных релятивистских операций никаких несогласованностей не возникает.

8 Библиография

Литература