Алгебраические структуры

Алгебраические структуры.

1 Группы

• Группа — это множество \( G \) с бинарной операцией (например, сложением или умножением), удовлетворяющей следующим условиям:

  • Замкнутость: \( \forall a, b \in G \quad a * b \in G \).
  • Ассоциативность: \( (a * b) * c = a * (b * c) \).
  • Наличие нейтрального элемента: \( \exists e \in G \quad a * e = e * a = a \).
  • Обратимые элементы: \( \forall a \in G \quad \exists a^{-1} \in G \quad a * a^{-1} = e \).

• Примеры:

  • Аддитивная группа целых чисел ( \(\mathbb{Z}, +\) ): нейтральный элемент — 0, обратный к \( a \) — \( -a \).
  • Мультипликативная группа ненулевых действительных чисел ( \(\mathbb{R} \setminus {0}, \times\) ): нейтральный элемент — 1, обратный к \( a \) — \( \frac{1}{a} \).

• Применение:

  • Группы используются в криптографии (например, эллиптические кривые), теории симметрии (кристаллография), квантовой механике.

2 Кольца

• Кольцо — это множество ( R ) с двумя операциями (сложением и умножением), где:

  • ( \(R, +\) ) — абелева группа.
  • Умножение ассоциативно: \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \).
  • Выполняется дистрибутивность: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) и \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \).

• Примеры:

  • Кольцо целых чисел \( \mathbb{Z} \).
  • Кольцо многочленов \( \mathbb{R}[x] \).

• Особые типы колец:

  • Коммутативное кольцо: умножение коммутативно (\( a \cdot b = b \cdot a \)).
  • Кольцо с единицей: существует нейтральный элемент для умножения (1).

• Применение:

  • Используются в алгебраической геометрии, теории чисел, криптографии (RSA).

3 Поля

• Поле — это коммутативное кольцо с единицей, где каждый ненулевой элемент имеет обратный по умножению.

  • ( \(F, +\) ) — абелева группа.
  • ( \(F \setminus {0}, \cdot\) ) — абелева группа.

• Примеры:

  • Поле рациональных чисел \( \mathbb{Q} \).
  • Конечное поле Галуа \( \mathbb{F}_p \) (поле из \( p \) элементов, где \(p\) — простое число).

• Свойства:

  • Все конечные поля имеют порядок \( p^n \), где \( p \) — простое, \( n \in \mathbb{N} \).
  • В поле нет делителей нуля: \( a \cdot b = 0 \implies a = 0 \) или \( b = 0 \).

• Применение:

  • Конечные поля лежат в основе кодирования (коды Рида-Соломона), криптографии (AES), теории информации.

4 Модули

• Модуль — обобщение векторного пространства, где вместо поля используется кольцо.

• Формально, модуль над кольцом \( R \) — это абелева группа \( M \) с операцией умножения \( R \times M \to M \), удовлетворяющей аксиомам дистрибутивности и ассоциативности.

• Пример:

  • \( \mathbb{Z} \)-модуль — это абелева группа (например, \( \mathbb{Z}^n \)).

• Применение:

  • Используются в гомологической алгебре, теории представлений.

5 Алгебры Ли

• Алгебра Ли — это векторное пространство \( \mathfrak{g} \) с бинарной операцией \( [\cdot, \cdot] \) (скобка Ли), удовлетворяющей:

  • Антикоммутативность: \( [x, y] = -[y, x] \).
  • Тождество Якоби: \( [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \).

• Пример:

  • Алгебра матриц с коммутатором \( [A, B] = AB - BA \).

• Применение:

  • Дифференциальная геометрия, физика (теория калибровочных полей).

6 Векторные пространства

• Векторное пространство над полем \( F \) — это множество \( V \) с операциями сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющими аксиомам линейности.

• Пример:

  • \( \mathbb{R}^n \) — пространство векторов с вещественными координатами.

• Применение:

  • Линейная алгебра, машинного обучения, компьютерной графики.