Семинар Математическое моделирование, 2025-2026
Заседания семинара Математическое моделирование, 2025-2026.
Содержание
1 Семинар Математическое моделирование, 2025-2
TODO 1.1 Сергеев С. В. - Модифицированный метод Чебышевской коллокации
1.2 Докладчик
- Сергеев, Степан Викторович
- аспирант
- кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН
1.3 Информация
- https://events.rudn.ru/event/295/
- Модифицированный метод Чебышевской коллокации построения полной системы решений двухточечных задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с целью решения начально-краевых линейных параболический задач
- Сергеев, Степан Викторович
- аспирант
- кафедра математического моделирования и искусственного интеллекта, РУДН
Рассматриваются начально-краевые задачи для линейных параболических уравнений, допускающих декомпозицию на двухточечную задачу ЛОДУ второго порядка и однородную начально-краевую задачу для линейного параболического уравнения. Приведен пример решения модифицированным методом Чебышевской коллокации начально-краевых задач для параболических уравнений, допускающих декомпозицию с двухточечной задачей для простейшего ЛОДУ второго порядка.
Решение начально-граничных задач для параболических уравнений более общего вида (с уравнением ОДУ второго порядка общего вида вместо уравнения Пуассона) требует отыскания общего (полного) решения такого ОДУ. Метод решения по меньшей мере одного решения ЛОДУ второго порядка общего вида с помощью Чебышевских матриц дифференцирования и интегрирования приведен во второй главе. Для отыскания второго независимого решения ОДУ второго порядка общего вида при одном известном решении (а во второй главе мы показали два метода отыскания первого решения) используем так называемый метод Даламбера. Метод включает в себя процедуру приведения ОДУ второго порядка к виду полной производной. Эту процедуру во втором параграфе мы применяем для ОДУ первого порядка. Затем, используя полученные результаты, в третьем параграфе применяем эту процедуру к ЛОДУ второго порядка. Полученные вспомогательные результаты, очень сложные технически, приводят к окончательному результату – получению полного решения ЛОДУ второго порядка, необходимого для решения начально-граничных задач для одномерных параболических уравнений общего вида.
- A modified Chebyshev collocation method for constructing a complete system of solutions to two-point problems for linear ordinary differential equations of the second order for the purpose of solving initial-boundary value parabolic problems
- Sergeev Stepan Viktorovich
- PhD student
- Department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence, RUDN University
We consider initial-boundary value problems for linear parabolic equations, which may be decomposed into a two-point second-order LODE problem and a homogeneous initial-boundary value problem for a linear parabolic equation. An example of solving initial-boundary value problems for parabolic equations using a modified Chebyshev collocation method is given, which can be decomposed into a two-point problem for the simplest second-order LODE.
Solving initial boundary value problems for more general parabolic equations (with a general second-order ODE equation instead of the Poisson equation) requires finding a general (complete) solution to such an ODE. The second chapter provides a method for solving at least one second-order equation of general form using Chebyshev differentiation and integration matrices. To find a second independent solution to a general second-order ODE with one known solution (in Chapter 2, we demonstrated two methods for finding the first solution), we use the so-called d’Alembert method. The method involves reducing a second-order ODE to a total derivative. In the second section, we apply this procedure to a first-order ODE. Then, using the results obtained, in the third section, we apply this procedure to a second-order LODE. The resulting auxiliary results, although technically extraordinarily complex, lead to the final result—a complete solution to the second-order LODE, necessary for solving initial-boundary value problems for general one-dimensional parabolic equations.
