Закон Матфея

Закон Матфея.

1 Общая информация

• Закон Матфея — это принцип, который описывает явление, когда преимущества или ресурсы распределяются таким образом, что те, кто уже имеет больше, получают ещё больше, а те, кто имеет меньше, теряют даже то, что у них есть.

1.1 Происхождение термина

• Термин происходит из притчи Иисуса Христа, записанной в Евангелии от Матфея (25:29):

  Ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет.

• В современном контексте этот принцип часто используется для описания социальных и экономических явлений.

1.2 Применение в современном мире

• В социологии и экономике закон Матфея используется для описания процессов, где:
  • Богатство концентрируется у ограниченного круга лиц;
  • Знания накапливаются у тех, кто уже обладает доступом к образовательным ресурсам;
  • Социальные связи укрепляются у людей с широким кругом знакомств.
• Этот принцип также известен как эффект «богатый становится богаче, а бедный — беднее».
• Он может проявляться в различных сферах жизни, включая экономику, образование, науку и технологии.
• В экономике закон Матфея связан с понятием кумулятивного преимущества, когда ранние успехи создают условия для дальнейшего роста.
• В науке этот принцип проявляется через эффект Матфея в цитируемости статей: работы известных авторов получают больше ссылок, чем работы менее известных исследователей.
• Закон Матфея описывает механизм усиления неравенства, который может иметь как положительные, так и отрицательные последствия в зависимости от контекста.

2 Модели

2.1 Общая информациия

• Закон Матфея формализуется через модели с положительной обратной связью, нелинейным ростом и вероятностным усилением преимуществ.
• Эти модели объясняют, как даже небольшие начальные различия могут привести к значительному неравенству.

2.2 Модель экспоненциального роста с положительной обратной связью

• Суть: Успех порождает новые ресурсы, которые ускоряют дальнейший рост.
• Формула: \[ W(t) = W_0 \cdot e^{rt} \] где \( W(t) \) — капитал/ресурсы в момент времени \( t \), \( W_0 \) — начальный капитал, \( r \) — скорость роста (зависит от имеющихся преимуществ).
• Пример: Инвестиции с реинвестированием прибыли: чем больше начальный капитал, тем быстрее он растёт.

2.3 Модель преференциального присоединения (preferential attachment)

• Суть: Вероятность получения новых ресурсов пропорциональна уже имеющимся. Используется в теории сетей.
• Формула: Вероятность, что новый узел присоединится к существующему узлу \( i \): \[ p_i = \frac{k_i}{\sum_j k_j} \] где \( k_i \) — количество связей узла \( i \).
• Пример: Социальные сети (известные люди получают больше подписчиков), цитирование научных статей.

2.4 Стохастические модели с кумулятивным преимуществом

• Пример: Урновая модель Пойя (Pólya urn model).
  • В урне изначально есть шары двух цветов. При извлечении шара он возвращается в урну вместе с дополнительным шаром того же цвета.
  • Итог: Доля шаров одного цвета со временем стремится к 100%, даже если начальное преимущество невелико.

2.5 Логнормальное распределение

• Суть: Небольшие случайные преимущества со временем усиливаются, приводя к асимметричному распределению (например, распределение доходов).

• Плотность вероятности:

  \[ f(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma2}} \]

  • где \( \mu \) и \( \sigma \) — параметры распределения.

2.6 Дифференциальные уравнения для описания неравенства

• Модель: Система уравнений, где разрыв между группами растёт со временем.

  \[ \frac{dW_1}{dt} = a \cdot W_1, \quad \frac{dW_2}{dt} = b \cdot W_2 \] где \( a > b \), а \( W_1 \) и \( W_2 \) — ресурсы двух групп. Результат: \( W_1 \) растёт экспоненциально быстрее \( W_2 \).

2.7 Агентные модели (Agent-based models)

• Суть: Имитация взаимодействия агентов с начальными неравными условиями.
• Пример:
  • Агенты с небольшим начальным капиталом получают доход пропорционально текущему капиталу.
  • Со временем разрыв между богатыми и бедными агентами увеличивается.

2.8 Степенные законы (power laws)

• Суть: Распределение ресурсов подчиняется закону Парето («20% населения владеют 80% богатства»).
• Формула: \[ P(X > x) \propto x^{-k} \] где \( k \) — параметр, описывающий степень неравенства.

2.9 Пример расчёта (упрощённый)

• Предположим, два человека:

  • А: Начальный капитал = 1000 ₽, доходность = 10% в год.
  • Б: Начальный капитал = 100 ₽, доходность = 5% в год.

• Через 10 лет:

• \( W_A = 1000 \cdot (1.1)^{10} ≈ 2594 ₽ \),

• \( W_B = 100 \cdot (1.05)^{10} ≈ 163 ₽ \).

• Итог: Разрыв увеличился с 10:1 до 16:1.

3 Распределение научного цитирования

3.1 Общая информация

• Распределение научного цитирования — классический пример действия закона Матфея, где статьи, уже имеющие много ссылок, привлекают новые цитирования быстрее, чем менее известные работы.
• Для моделирования распределения цитирования чаще всего используют преференциальное присоединение и степенные законы, дополненные стохастическими факторами.
• Эти модели показывают, что неравенство в науке — не всегда следствие качества работ, но часто результат самоусиливающихся механизмов, описанных законом Матфея.

3.2 Модель преференциального присоединения (preferential attachment)

• Суть: Вероятность цитирования статьи пропорциональна количеству уже имеющихся ссылок на неё.
• Вероятность, что новая статья процитирует работу \( i \):

\[ p_i = \frac{k_i + c}{\sum_j (k_j + c)} \] где:

• \( k_i \) — текущее число цитирований статьи \( i \),

• \( c \) — параметр, учитывающий «удачу» или начальное преимущество (например, публикация в престижном журнале).

• Пример:

  • Статья, получившая 10 цитирований в первый год, имеет бóльшие шансы быть замеченной и процитированной в последующие годы.

3.3 Степенной закон (power law)

• Суть: Распределение цитирований подчиняется закону Парето — небольшая доля статей получает большинство ссылок.
• Доля статей с \( k \) цитированиями:

\[ P(k) \propto k^{-\gamma} \] где \( \gamma \) — параметр неравенства (обычно \( 2 < \gamma < 3 \) для научных статей).

• Пример:
  • В базе данных PubMed менее 1% статей получают более 50% всех цитирований.

3.4 Модель кумулятивного преимущества (Price’s model)

• Суть: Модель, разработанная Дереком де Солла Прайсом, учитывает два фактора:

  • Преференциальное присоединение: Новые статьи чаще цитируют уже популярные работы.
  • Постоянный прирост: Каждая новая публикация добавляет в среднем \( m \) ссылок на существующие статьи.

• Среднее число цитирований для статьи возрастает как:

\[ \langle k \rangle \sim t^{\beta}, \] где \( \beta \) зависит от параметров модели.

3.5 4. Стохастическая урновая модель

• Аналог модели Пойя:
  • Каждое новое цитирование «усиливает» статью, увеличивая вероятность её выбора в будущем.
  • Даже две одинаковые по качеству статьи могут со временем сильно разойтись по цитируемости из-за случайных начальных преимуществ.

3.6 5. Агентное моделирование

• Суть: Имитация поведения учёных, которые:

  • Ищут статьи для цитирования через академические базы (например, Google Scholar).
  • Чаще выбирают работы из топовых журналов или с высоким индексом цитирования.

• Параметры модели:

  • Начальный «вес» статьи (зависит от журнала, автора, института),
  • Случайные события (например, упоминание в обзоре или медиа).

3.7 Пример расчёта (упрощённый)

• Две статьи опубликованы в одном году:
  • Статья A: Начальные цитирования = 5 (например, благодаря известному соавтору).
  • Статья B: Начальные цитирования = 1.

Механизм: Каждый год вероятность получить новое цитирование для статьи \( i \): \[ p_i = \frac{k_i}{k_A + k_B} \]

• Через 5 лет:
  • Если статья A получила 3 цитирования в первый год, её \( k_A = 5 + 3 = 8 \).
  • На второй год её шансы вырастут: \( p_A = \frac{8}{8 + 1} ≈ 89\% \), и т.д.
  • Итог: Разрыв в цитируемости будет расти экспоненциально.

3.8 Факторы, усиливающие эффект Матфея в науке

• Репутация авторов и журналов: Статьи нобелевских лауреатов цитируют чаще, даже если их вклад скромен.
• Алгоритмы поиска: Платформы вроде Google Scholar показывают в топе уже популярные работы.
• Сетевые эффекты: Цитирование в обзорных статьях привлекает «волну» новых ссылок.

3.9 Реальные данные

• 80% цитирований в физике приходится на 20% статей.
• Статьи, попавшие в «модную» область (например, графен в 2000-х), получают сверхвысокую цитируемость, даже если их научная ценность спорна.