Темы исследований студентов. Кинетические процессы
Темы исследований студентов. Кинетические процессы.
Содержание
1 Примеры тем
- Символьно-аналитический подход при моделировании кинетических систем
- Моделирование кинетических систем
- Мультимодельный подход при исследовании популяционной динамики
- Мультимодельный подход при исследовании компартментальных моделей
2 Программная реализация
- Примеры программной реализации:
3 Кинетические модели
3.1 Экология и биология
- Модели конкуренции видов
- Уравнения: \[ \frac{dx}{dt} = r_1 x \left(1 - \frac{x + \alpha y}{K}\right), \] \[ \frac{dy}{dt} = r_2 y \left(1 - \frac{y + \beta x}{K}\right). \]
- Пример темы:
- Анализ устойчивости сосуществования двух конкурирующих видов в условиях ограниченных ресурсов.
- Исследование роли коэффициентов конкуренции \((\alpha, \beta)\) и емкости среды \((K)\).
- Симбиотические взаимодействия
- Модели мутуализма (например, растения и опылители): \( \frac{dx}{dt} = a x - b x^2 + c \frac{x y}{1 + d x} \).
- Пример темы:
- Динамика взаимовыгодных отношений в условиях внешних стрессоров (загрязнение среды).
- Паразит-хозяин
- Модификация Лотки-Вольтерры с учетом латентного периода заражения.
- Пример темы:
- Моделирование влияния изменения климата на циклы развития паразитов.
3.2 Эпидемиология и медицина
Модели с множественными штаммами
- Система уравнений для конкурирующих вариантов вируса (например, COVID-19 и грипп).
- Пример темы:
- Анализ коциркуляции патогенов в условиях перекрестного иммунитета.
Распространение антибиотикорезистентности
- Динамика устойчивых и чувствительных штаммов бактерий в популяции.
- Пример темы:
- Оптимизация стратегий ротации антибиотиков на основе математических моделей.
Психическое здоровье
- Модели передачи депрессивных расстройств в социальных сетях (аналоги SIR).
- Пример темы:
- Роль социальных медиа в эпидемии тревожных расстройств среди подростков.
3.3 Социальные и экономические системы:
Распространение информации/фейков
- Модели типа SIR с учетом “иммунитета” (критического мышления) и сетевой структуры.
- Пример темы:
- Динамика вирального контента в TikTok: агентное моделирование на графах.
Конкуренция технологий
- Уравнения типа Bass model для внедрения инноваций (например, электромобили vs ДВС).
- Пример темы:
- Прогнозирование перехода к зеленой энергетике с учетом лоббирования традиционных отраслей.
Финансовые рынки
- Модели поведения “быков” и “медведей” на бирже (аналоги хищник-жертва).
- Пример темы:
- Динамика криптовалютных пузырей: стохастическая модель с положительной обратной связью.
3.4 Технические системы
Кибератаки и защита сетей
- Динамика взаимодействия хакеров (хищник) и систем безопасности (жертва).
- Пример темы:
- Оптимальное распределение ресурсов защиты в корпоративной сети на основе игровых моделей.
Транспортные потоки
- Модели заторов с нелинейными уравнениями (например, теория катастроф).
- Пример темы:
- Прогнозирование коллапсов в умных городах при внедрении беспилотного транспорта.
Энергетические сети
- Баланс спроса и предложения энергии с учетом ВИЭ (уравнения с запаздыванием).
- Пример темы:
- Устойчивость smart grid к каскадным авариям: системно-динамический подход.
3.5 Междисциплинарные приложения
Астробиология
- Модели гипотетических экосистем на экзопланетах (например, с метаном вместо воды).
- Пример темы:
- Сценарии эволюции кремниевой жизни в условиях высокого давления.
Культурная динамика
- Конкуренция языков или диалектов (модели с положительной обратной связью).
- Пример темы:
- Математическое прогнозирование исчезновения малых языков народов Севера.
Колонизация Марса
- Система уравнений для баланса ресурсов (кислород, вода, пища) в замкнутой среде.
- Пример темы:
- Оптимизация жизненного цикла марсианской колонии с учетом ограничений на рециклинг.
4 Направления для модификаций моделей
- Пространственные эффекты
- Добавление диффузионных членов \(( D \nabla^2 x )\) для учёта миграций или распространения в среде.
- Стохастичность
- Введение шумов (уравнения Ито/Стратоновича) для моделирования непредсказуемых событий.
- Сетевые структуры
- Замена однородных популяций на графы взаимодействий (например, социальные сети).
- Запаздывающие аргументы
- Уравнения с временными задержками \(( x(t-\tau) )\) для учета инкубационных периодов или инвестиционных лагов.
5 Модели биологии
5.1 Литература
- Базыкин А. Д. - Нелинейная динамика взаимодействующих популяций [1]
5.2 Модель изолированной популяции
Изучает динамику одной популяции без учета взаимодействия с другими видами.
Экспоненциальный рост (Модель Мальтуса)
\[ \frac{dx}{dt} = a \cdot x \]
- \(x\) — численность популяции,
- \(a > 0\) — коэффициент рождаемости.
- Особенности: Неограниченный рост, не учитывает ресурсные ограничения.
Логистический рост (Ферхюльст)
\[ \frac{dx}{dt} = r \cdot x \left(1 - \frac{x}{K}\right) \]
- \(r\) — мальтузианский параметр,
- \(K\) — ёмкость среды.
- Особенности: Учет ограниченности ресурсов, S-образная кривая роста.
Модель с квадратичной смертностью
\[ \frac{dx}{dt} = k \cdot x^2 - d \cdot x \]
- \(k\) — коэффициент внутривидовой конкуренции,
- \(d\) — коэффициент естественной смертности.
- Применение: Моделирование вымирания при перенаселении.
5.3 Модель «хищник-жертва» (Лотка-Вольтерра)
Оптимизирует взаимодействие двух видов: хищника (\(y\)) и жертвы (\(x\)).
Базовая модель
\[
\begin{cases} \frac{dx}{dt} = a \cdot x - b \cdot x \cdot y, \\ \frac{dy}{dt} = -c \cdot y + d \cdot x \cdot y, \end{cases}
\]
- \(a\) — скорость роста жертв,
- \(b\) — эффективность хищника,
- \(c\) — смертность хищников,
- \(d\) — коэффициент размножения хищников.
- Особенности: Циклические колебания численности, нейтральная устойчивость.
Модификации модели
- С конкуренцией жертв: \[ \frac{dx}{dt} = a \cdot x \left(1 - \frac{x}{K}\right) - b \cdot x \cdot y \]
- С насыщением хищника: \[ \frac{dx}{dt} = a \cdot x - \frac{b \cdot x \cdot y}{1 + h \cdot x}, \quad \frac{dy}{dt} = -c \cdot y + \frac{d \cdot x \cdot y}{1 + h \cdot x} \] (\(h\) — время обработки добычи).
- С нижней критической численностью жертв: \[ \frac{dx}{dt} = a \cdot x \cdot (x - m) - b \cdot x \cdot y, \quad (m > 0) \]
5.4 Модели конкуренции и симбиоза
Конкуренция двух видов
\[
\begin{cases} \frac{dx}{dt} = r_1 \cdot x \left(1 - \frac{x + \alpha \cdot y}{K_1}\right), \\ \frac{dy}{dt} = r_2 \cdot y \left(1 - \frac{y + \beta \cdot x}{K_2}\right), \end{cases}
\]
- \(\alpha, \beta\) — коэффициенты конкуренции.
- Исход: Вытеснение одного вида или сосуществование.
Мутуализм (взаимовыгодный симбиоз)
\[ \frac{dx}{dt} = r_1 \cdot x \left(1 - \frac{x}{K_1 + \gamma \cdot y}\right), \quad \frac{dy}{dt} = r_2 \cdot y \left(1 - \frac{y}{K_2 + \delta \cdot x}\right) \]
- \(\gamma, \delta > 0\) — коэффициенты взаимопомощи.
5.5 Трехпопуляционные системы
- Модель «хищник-жертва-суперхищник»
\[
\begin{cases} \frac{dx}{dt} = a \cdot x - b \cdot x \cdot y, \\ \frac{dy}{dt} = -c \cdot y + d \cdot x \cdot y - e \cdot y \cdot z, \\ \frac{dz}{dt} = -f \cdot z + g \cdot y \cdot z, \end{cases}
\]
- \(z\) — суперхищник.
- Особенности: Возможны хаотические колебания.
5.6 Пространственные модели
- Реакционно-диффузионные уравнения
- Пример (модель Фишера-Колмогорова):
\[
\frac{\partial x}{\partial t} = D \cdot \frac{\partial2 x}{\partial s2} + r \cdot x \left(1 - \frac{x}{K}\right)
\]
- \(D\) — коэффициент диффузии,
- \(s\) — пространственная координата.
- Применение: Моделирование распространения популяции в пространстве.
5.7 Специальные модели
Модель фитофаг-энтомофаг
\[
\begin{cases} \frac{dP}{dt} = r_p \cdot P \cdot \left(1 - \frac{P}{K_p}\right) - a \cdot P \cdot E, \\ \frac{dE}{dt} = -r_e \cdot E + b \cdot a \cdot P \cdot E, \end{cases}
\]
- \(P\) — фитофаги (вредители),
- \(E\) — энтомофаги (хищники).
- Использование: Прогнозирование вспышек численности насекомых в лесах.
